关键词不能为空

当前您在: 股票知识网 > 股票入门知识 >

金融时间序列分析 股市休息时间

作者:股票知识库
来源:https://www.wcgjj.com
日期:2020-03-27 14:59
股市休息时间

金融时间序列分析 第一章 绪论 第一节 时间序列分析的一般问题 人们在日常生活和工作中会遇到大量的金融数据,如存款的利率、股票的价 格、债券的收益等等, 例 某支股票的价格。。 。 如何从这些数据中总结、发现其变化规律, 如何从这些数据中总结、发现其变化规律,从而预测或控制现象的未来行 从这些数据中总结 为,这就是时间序列分析这门课程所要研究的问题。 研究方式 数据 建立模型 预测 数据数据的类型。 横剖面数据:由若干现象在某一时点上所处的状态所形成的数据,称为横 剖面数据, 剖面数据,又称为静态数据。它反映一定时间、地点等客观条件下诸现象之间存 在的内在数值联系。 例如,上海证券交易所所有股票在某一时刻的价格;某一时刻全国各省会城 市的温度,都是横剖面数据; 研究方法:多元统计分析 。纵剖面数据:由某一现象或若干现象在不同时点上的状态所形成的数据, 称为纵剖面数据, 纵剖面数据, 又称为动态数据。 它反映的是现象与现象之间关系的发展变化 规律。 例如,南京市 1980 年至 2005 年每年末的人口数;上海证券交易所所有股票 在一年中每个周末收盘价,都是纵剖面数据 研究方法:时间序列分析 时间序列概念 时间序列概念 。时间序列: 简单地说,时间序列就是按照时间顺序排成的一个数列,其 中每一项的取值是随机的。 严格的时间序列的定义需要随机过程的概念。 设 (?, β , P ) 是一个概率空间,其中 ? 是样本空间,β 是 ? 上的 σ -代数,P 是 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? 上的概率测度。又设 T 是一个有序指标集。 概率空间 (?, β , P ) 上的随机变量 { X t : t ∈ T } 的全体称为随机过程。 随机过程。 注: 指标集T 可以是连续的也可以是离散的,相应地,随机过程也有连续和离 散之分。 定义: 定义:若 {t i } 是 R 中的一个离散子集,则称随机过程 { X t : t ∈ {t i }} = { X ti } 是一个 时间序列。简言之,一个离散随机过程被称为一个时间序列。 注: 1、从统计意义上说,时间序列是一个统计指标在不同时刻上的数值,按照 时间顺序排成的数列,由于统计指标数值受到各种偶然因素影响,因此 这数列表现出随机性。 2、从系统论上说,时间序列是某一系统在不同时刻的响应,是系统运行的 历史行为的客观记录。 。时间序列的特点: (1) 序列中的数据依赖于时间顺序; (2) 序列中每个数据的取值具有一定的随机性; (3)序列中前后的数值有一定的相关性----系统的动态规律 (4) 序列整体上呈现某种趋势性或周期性。 。研究时间序列的意义 通过对时间序列的分析和研究,认识系统的结构特征(如趋势的类型,周期 波动的周期、振幅,等等) ;揭示系统的运行规律;进而预测或控制系统的未来 行为,或修正和重新设计系统(如改变参数、周期等)按照新的结构运行。 时间序列分析 根据时间序列所包含的历史行为的信息, 寻找相应系统的内在统计特征和发 时间序列分析。 展变化规律性的整个方法,称为时间序列分析 注: 时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法, 是统计学的一个分支。 。时间序列分析的类型(详见 P7) 。确定性时序分析:设

法消除随机型波动,拟合确定型趋势,形成长期趋势 分析、 季节变动分析和循环波动测定的时间序列分析方法, 称为确定性时序分析 。随机时序分析:对许多偶然因素共同作用的随机型波动,运用随机理论来 研究分析,找出其中的规律性,称为随机时序分析 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 第二节 列的预测技术 第二节 时间序列的预测技术 本课程主要研究诸如资产收益率等金融时间序列, 这些时间序列具有一些典 型特征。 时间序列的预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的分析处理来研 究其变化趋势。 时间序列的基本变动 。长期趋势变动:指序列朝一定方向持续上升或持续下降,或停留在某一水 平上的倾向。 例如,1950 年至 2000 年我国人口数一直保持增长的趋势;2000 年至 2005 年人口数量稳定在 13 亿。 。季节变动:指在一年或更短的时间内,由某种固定周期性因素(如自然、 生产、消费等季节性因素)的影响而呈现出有规律的周期性波动。 例如,雅戈尔西服的销售量在春秋两季较高,而在冬夏两季较低。 。循环变动:指周期为一年以上,由非季节因素引起的涨落起伏波型相似的 波动。 例如,经济的过热或经济的萧条;股票市场大约每四年一次的牛市等。 。不规则变动:由许多不可控的偶然因素(如战争、自然灾害或其它社会因 素等)和随机变动(即由大量随机因素产生的宏观影响)所共同作用的结果 例如,黎巴嫩今年的经济因以色列突然入侵而蒙受重大损失;我国 7 月份福 建、浙江因台风遭受重大损失等。 几种常见的预测模型 几种常见的预测模型 如果在预测时间范围以内,无突然变动且随机变动的方差 σ 2 较小,并且有 理由认为过去到现在的历史演变趋势将继续发展到未来, 可以用如下一些经验方 法来进行预测。 ? 。简单预测模型:用现象的现在值作为其下一时刻的预测值,即 xt +1 = xt 。移动平均模型(滑动平均,Moving Average Model) : 当预测目标出现某些不规则的变化,如特大值或特小值,用简单预测法将会 产生较大偏差, 可以用前一段时间的观察值的平均数来削弱不规则变化对预测的 影响。 设观察值序列 x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ,一次移动平均模型 为 x (1) t = 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? 我们用此值作为下一时刻的预测值,即令 xt +1 = x (1) t 。 注:1、移动平均的特点是“修匀”原序列中的某些不规则变化而使之平滑化, 并使趋势倾向更加明显。 2、当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时,可以用移动平均模型 来作预测。 3、当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时,常采用二次移动平均 模型,即 1 (1) ? x ( 2) t +1 = x ( 2) t = ( xt + x (1) t ?1 + ? ? ? + x (1) t ?( n?1) ) 。 n 4、当预测目标同时存在线性趋势和周期波动时,可用趋势移动平均模型 ? xt + j = at + bt j , j = 1,2,? ? ? ? ? 其中: at = 2 x (1)t ? x ( 2 )t , bt = 2 ? ? ( x (1) t ? x ( 2) t ) , n 为周期长度。该模型在数 n ?1 据处理中常用来作为预处理, 消除周期波动和减弱随机干扰的影响往往是有 效的。 。指数平滑模型(Exponential Smoothing Model) : 观察移动平均模型可知,我们实际上是作了以下两个假定: (1)下一期的预测值只与前 n 期的历史数据有关,而与前 n 期以前的历史 记录无关; (2)前 n 期的历史数据对预测值的影响是相同的, 即都加权数 1 n 。 然而,这两条假定是存在一定缺陷的:假定(1)限制我们不能充分利用数据带 来的信息;假定(2)与实际情况不相符合,因为一般说来距离预测期越远的数 据对预测的影响应当越小。 为了克服移动平均模型的缺点, 更好地符合实际情况, 我们应当对各期的观察值依时间的顺序进行加权平均来作为预测值。 设观察值序列为 x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? , 由移动平均模型有 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n 1 1 1 = xt + ( xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) + xt ? n ) ? xt ? n n n n 1 1 = xt + x (1) t ?1 ? xt ? n n n 1 如用 x (1) t ?1 代替 xt ?n ,并记 α = ,则上式可以写成 n x (1) t = x (1) t = αxt + (1 ? α ) x (1) t ?1 一般地,一次指数平滑模型 为 S (1 ) t = α x t + (1 ? α ) S (1 ) t ?1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and

Economics, 2006 金融时间序列分析 其中 α ( 0 < α < 1 )为加权系数。 利用上述递推公式,我们可以进一步得到 St (1) = αxt + (1 ? α )[αxt ?1 + (1 ? α ) S (1) t ?2 ] = αxt + α (1 ? α ) xt ?1 + (1 ? α ) 2 [αxt ? 2 + (1 ? α ) S (1) t ?3 ] = ? = α ∑ (1 ? α ) j xt ? j j =0 ∞ 注:1、上式中加权系数呈指数函数衰减,加权平均能消除或减弱随机干扰的影 响。 2、指数平滑模型是以当前时刻 t 为起点,综合历史数据的信息,来对未来进 行预测的。其中加权系数 α 的选择是提高预测精度的关键。根据经验,α 的取值 范围一般为 0.1—0.3。 3、类似地,我们也有如下的二次、三次平滑公式,等等 St St ( 2) = αS (1) t + (1 ? α ) S ( 2) t ?1 , = αS ( 2) t + (1 ? α ) S (3) t ?1 ( 3) 加权系数 α 的作用:由一次指数平滑公式有 ? (1) ? ? xt +1 = S (1) t = S (1) t ?1 + α ( xt ? S (1) t ?1 ) = x (1) t + α ( xt ? x (1) t ) 其中最后一个括号表示对上期预测误差的修正,因此, α 的大小反映了对上期预测误差修正的幅度 的大小反映了对上期预测误差 对上期预测误差修正的幅度 α 值越大,加权系数的序列衰减速度就越快,采用的历史数据就越少。由此可以 得到 α 取值的一般原则: (1)如果序列的基本趋势比较稳,预测偏差由随机因素造成,则 α 值应取小些,以减少修正幅度,使预测模型包含更多历史数据的信息; (2)如果预测目标的基本趋势发生系统变化,则 α 值应取大些,可以偏重新 数据的信息队原来模型进行大幅度修正,以使预测模型适应预测目标的新变化。 金融时间序列及其特征 第三节 金融时间序列及其特征 金融时间序列分析研究的是资产价值随时间演变的理论和实践。 它是一个带 有高度经验性的学科, 但也像其它科学一样,理论是形成分析推断的基础。然 而,金融时间序列分析有一个区别于其它时间序列分析的主要特点:金融理论及 其经验的时间序列都包含不确定因素。例如,资产波动率有各种不同的定义,对 一个股票收益率序列,波动率是不能直接观察到的。正因为带有不确定性,统计 理论和方法在金融时间序列分析中起重要作用。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 资产收益率 多数的金融研究是针对资产收益率而不是资产价格。Campbll, Lo 和 MacKinlay (1997) 给出了两个使用收益率的主要理由: 第一, 对普通的投资者来说, 资产收益率的高低完全反映了投资机会的大小; 第二,收益率序列比价格序列有更好的统计性质,因而更容易处理。 设 Pt 是资产在 t 时刻的价格,假定资产不支付分红。 。单周期简单收益率 若从第 t ? 1 天到第 t 天这一个周期持有某种资产,则单周期的简单毛收益率 单周期的简单毛收益率 定义为 1 + Rt = Pt Pt ?1 或 Pt = Pt ?1 (1 + Rt ) 对应的单周期简单净收益率 或 称简单收益率 为 Rt = Pt P ? Pt ?1 ?1 = t Pt ?1 Pt ?1 。多周期简单收益率 若从第 t ? k 天到第 t 天这个 k 个周期内持有某种资产, k 周期简单毛收益率 则 定义为 1 + Rt [k ] = Pt P P P = t × t ?1 × ? ? ? × t ? k +1 Pt ? k Pt ?1 Pt ? 2 Pt ?k k ?1 j =0 = (1 + Rt )(1 + Rt ?1 ) ? ? ? (1 + Rt ?k +1 ) = ∏ (1 + Rt ? j ) k 周期简单毛收益率也称为复合收益率。由上式可见, k 周期简单毛收益率恰是 k 个单周期简单毛收益率的乘积 k 周期简单净收益率 为 Rt [k ] = Pt P ? Pt ? k ?1 = t Pt ?k Pt ?k 注:在实践中,实际的时间区间对讨论和比较收益率很重要的,例如是月收益率 还是年收益率。若时间区间没有明确给出,那么一般认为隐含假定时间区间 为一年。 如果持有资产年限为 k 年,则年度化的平均收益率定义为 ? k ?1 ? 年度化的 {Rt [k ]} = ?∏ (1 + Rt ? j )? ? j =0 ? 即为 k 个单周期简单毛收益率的几何平均。 1 k ?1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 由于算术平均要比几何平均容易计算, 所以年度化的平均收益率也可以用算 术平均来表示为: ? 1 k ?1 ? 年度化的 {Rt [k ]} = exp? ∑ ln(1 + Rt ? j )? ? 1 ? k j =0 ? 注意到单周期收益率一般很小,利用一阶 Taylor 展开式 e x ≈ 1 + x 与 ln(1 + x) ≈ x ,年度化的平均收益率又可以进一步近似地表示为: 年度化的 {Rt [k ]} ≈ 1 k ?1 ∑ Rt ? j k j =0 。连续复合收益率 连续复合的含义:例 假定银行存款的年利息为 10%,最初存款为 1 美元。假如该银行每年支 付一次利息,那么

一年之后存款的额度变为 1+0.1=1.1 美元。假如该银行每半年 支付一次利息,六个月的利息率是 10%/2=5%,第一年之后存款的额度为 1(1 + 0.1 / 2) 2 = 1.1025 美元。一般地,假如该银行一年支付 m 次利息,那么每次支 付的利息率为 10%/m,一年后存款的额度变为 1(1 + 0.1 / m) m 美元。 下表给出一些常用的时间间隔下年利率为 10%时存款 1 美元的结果 类型 支付次 数 每周期 利率 净值(美 元) 一年 1 0.1 1.1 半年 2 0.05 1.1025 季度 4 0.025 1.10381 月 12 0.0083 1.10471 周 52 0.1/52 1.10506 天 365 0.1/365 1.10516 连续地 无穷多 1.10517 可见,净值趋于 1.1052 ≈ exp(0.1) ,这个值就是连续复合的结果。 一般地,连续复合的净资产值为: A = C exp(r × n) 其中 r 是年利率, C 是初始资本, n 是年数。由此式我们可以得到 C = A exp(? r × n) 称为 n 年后价值为 A 的资产的现值 连续复合收益率: 资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率 或 对数收益率(log-return): Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 rt = ln(1 + Rt ) = ln Pt = pt ? pt ?1 Pt ?1 其中 pt = ln Pt 注: 连续复合收益率 rt 与简单净收益率 Rt 比较有一些优点: 1、对多周期收益率,我们有 rt [k ] = ln(1 + Rt [k ]) = ln(1 + Rt )(1 + Rt ?1 ) ? ? ? (1 + Rt ? k +1 ) = ln(1 + Rt ) + ln(1 + Rt ?1 ) + ? ? ? + ln(1 + Rt ? k +1 ) = rt + rt ?1 + ? ? ? + rt ?k +1 即, 连续复合多周期收益率恰是各连续复合单周期收益率之和 2、对数收益率有更容易处理的统计性质。 3、根据泰勒公式,我们有如下有关系式 ln Pt P ? Pt ?1 P ? Pt ?1 = ln(1 + t )≈ t , Pt ?1 Pt ?1 Pt ?1 即毛收益率的对数近似等于净收益率。 。资产组合收益率 由 N 个资产组成的一个资产组合的简单净收益率是它所包含的各资产的简 单净收益率的加权平均, 其中每个资产的权重是资产组合的总价值中该资产的价 值所占的百分比。 设 p 是一个资产组合,其在资产 i 上的权重为 ω i ,那么 p 在时刻 t 的简单收 益 R p ,t = ∑ ω i Rit , i =1 N 其中 Rit 是资产 i 的简单收益率。 收益率分布的假定 收益率分布的假定 分布 。正态分布 金融研究中传统的假设是:简单收益率 {Rit | t = 1, ? , T } 是相互 独立的,且都服从一个固定均值为 ? 、方差为 σ 2 的正态分布。 这个假设使得资产收益率的统计性质变得可以处理,但它遇到几个麻烦: 第一,简单资产收益率的下界为-1,而正态分布的支撑是没有下界,它可以 取到实直线上的任何值; 第二,如果 Rit 是正态分布的,那么多周期的简单收益率 Rit [k ] 就不是正态分 布的,因为它是单周期收益率的乘积; 第三,经验结果不支持正态性假设,很多资产收益率数据表明它具有正的超 出峰度,即具有厚尾性。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 。对数正态分布 金融研究中另一个常用的假设是:资产的对数收益率 rt 是 相互独立的,且都服从一个均值为 ? 、方差为 σ 2 的正态分布。 此时,简单收益率 Rt 就是独立同分布的对数正态的随机变量,由 Rt =exp rt , 容易计算得到 Rt 的均值和方差分别为 E ( Rt ) = exp(? + σ2 2 ) ? 1, Var ( Rt ) = exp(2 ? + σ 2 )[exp(σ 2 ) ? 1] 这两个式子在研究资产收益率是有用的。 如果简单收益率 Rt 服从对数正态分布,均值和方差分别为 m1 , m2 ,通过计 算可以得到其对数收益率 rt 的均值和方差分别为 ? ? m1 + 1 E (rt ) = ln ? ? m2 ? 1+ (1 + m1 ) 2 ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? m2 ? Var (rt ) ln ?1 + 2 ? ? (1 + m1 ) ? *第四节 随机变量的矩 第四节 随机变量的矩 最近的理论研究和实证结果表明:对收益率的两个传统假定并不成立,即收 益率序列并不是服从正态分布的,实际上它存在着尖峰厚尾现象。为描述这一现 象,我们需要下面矩的概念。 。随机变量的矩 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x) ,则 X 的 l 阶矩 定义为 ml′ = E ( X l ) = ∞ ?∞ ∫x l f ( x)dx 一阶矩称为 X 的均值 或 期望, 它表示的是分布的中心位置, 记为 ? x 。X 的 l 阶 中心矩 定义为 ml = E[( X ? ? x ) l ] = ∞ ?∞ ∫ (x ? ? x ) l f ( x)dx 二阶中心矩称为 X 的方差,它表示 X 取值变化的程度,记为 σ 2 x 。方差的算术根 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 σ x 称为 X 的标准差注:1、

三阶中心矩度量 X 关于其均值的对称性;四阶中心矩度量 X 的尾部。 X 的偏度(skewness)定义为标准化的三阶矩, 即 ? ( X ? ? x )3 ? S ( x) = E ? ? 3 ? σ x ? X 的峰度(kurtosis)定义为标准化的四阶矩, 即 ?( X ? ?x )4 ? K ( x) = E ? ? 4 ? σ x ? 量 K ( x) ? 3 称为超出峰度, 具有正的超出峰度的分布称为具有厚尾性 。 注 : 2 、所谓“超出峰度”是以正态分布为标准比较而言的。正态分布的峰度 K ( x) = 3 ,故其超出峰度为 0。分布具有“厚尾性”意即该分布在其支撑 的尾部有比正态分布更多的“质量” 。在实际中,这意味着来自于这样一 个分布的随机样本会有更多的极端值。 注:3、在应用中,偏度和峰度可以由它们对应的样本偏度和样本峰度来估计。 设 {x1 , x 2 ,? ? ?, xT } 是 X 的 T 个观察值的随机样本,样本的均值为 ? ?x = 1 T ∑ xt T t =1 样本方差为 ? σ 2x = 1 T ? ∑ ( xt ? ? x ) 2 T ? 1 t =1 样本偏度为 ? S ( x) = 1 ? (T ? 1)σ 3 x ∑ (x t =1 T T 3 t ? ? ?x ) 样本峰度为 ? K ( x) ? 3 = 1 ? (T ? 1)σ 4 x ∑ (x t =1 4 t ? ? ?x ) ? ? 注:在正态分布假定下, S ( x) 和 K ( x) 均渐近正态分布,均值为零,而方差分别 为 6 / T 和 24 / T 。 (参见 Snedecorhe Cochran(1980), P.78) 注:4、类似地,我们也可以给出离散随机变量的偏度和峰度的定义。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 第二/三 线性时间序列模型 第二 三章 线性时间序列模型 时间序列列的一个重要特征是它的前后数据之间具有相关性,这反映系统 的现在行为与历史行为是有关联的,也就是说系统对过去行为具有记忆性,也叫 做系统的动态性。 记忆性(动态性) 记忆性(动态性) 。记忆性 指某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的发生影响的性质。 输入 系统 输出(响应) 。动态性 指系统现在行为与历史性为的相关性,即在时间序列中,观察值之 中蕴含有相关关系。从系统观点来看,动态性即指系统的记忆性。 若某输入只影响系统的下一时刻的行为,而对其后的行为不发生作用,则称 系统有一期记忆性 或 一阶动态性 。 类似可以定义系统的 n 阶记忆性。 阶记忆性。 例:一个病人服用镇痛药,在时刻 t 服用,相当于在时刻 t 进入神经系统的一个 输入----镇痛药,结构图如下: 输入 神经系统 镇痛药 ? t 精神状态 X t 输出(响应) 如果此药仅在下一个时刻有效,此后无效,该系统具有一期记忆性,其动态性可 用下图表示: ? ? T T +1 ? T +2 假如服药后四小时内有效,且药力递减,第五个小时后无效,则系统的动态性图 示如下: Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 T T +1 T +2 T +3 T +4 T +5 注:如何定量描述系统的记忆性,这是时间序列分析的主要内容,时间序列模型 就是系统记忆性的具体描述,建模过程驾驶记忆的定量描述过程。 例如,若某系统的输入和输出为: 时间 t 1 2 输入 输出 则模型为 X t = ψ 0Wt 。 若某系统的输入和输出为: 时间 t 1 输入 输出 则模型为 X t = ψ 1Wt ?1 。 若某系统的输入和输出为: 时间 t 1 输入 输出 Wt Xt 0 0 2 0 0 2 0 0 3 4 0 0 5 0 0 6 0 0 Wt Xt 0 0 0 0 c ψ 0c 3 4 0 5 0 0 6 0 0 Wt Xt 0 0 c 0 ψ 1c 3 4 0 5 0 0 6 0 0 c ψ 0c ψ 1c 则模型为 X t = ψ 0Wt + ψ 1Wt ?1 。 一般地,系统的记忆性可以用如下模型表示: X t = ψ 0Wt + ψ 1Wt ?1 + ψ 2Wt ? 2 + ? 其中ψ j 表示在 t 时刻系统对输入 Wt ? j 的记忆程度, 或者输入 Wt ? j 对系统输出 X t 的 影响程度。称ψ j 为系统的记忆函数。 实际上,我们所掌握系统的信息总是有限的,因此描述系统的记忆性的模型 一般为有限形式: X t = ψ 0Wt + ψ 1Wt ?1 + ψ 2Wt ? 2 + ? + ε t 其中的 ε t 是一个随机误差。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 。线性时间序列 若时间序列 {xt } 能够写成 xt = ? + ∑ψ i at ?i , i =0 ∞ 其中 ? 是 xt 的均值,ψ 0 = 1 , {a t } 是零均值、独立同分布的随机变量序列(即白 噪声) ,则称 {xt } 为线性时间序列。 。线性时间序列理论 。经济计量模型 包括平稳性、动态相依型、自相关函数、建模和预测 (1)简单自回归(AR)模型; (2)简单滑动平均(MA)模型; (3)混合的自回归滑动平均(ARMA)模型; (4)季节模型。 第一节 平稳性 。严平

稳 对时间序列 {xt } ,若对所有的 t 、任意正整数 k 和任意 k 个正整 数 t1 , t 2 , ? , t k , 随 机 变 量 组 (rt 1 , rt 2 , ?, rt k ) 的 联 合 分 布 与 随 机 变 量 组 (rt1 + t , rt2 + t , ? , rtk + t ) 的联合分布均是相同的,即满足关系式: Fk (rt1 , rt2 , ? , rtk t1 , t 2 , ? , t k ) = Fk (rt1 , rt2 , ? , rtk t1 + t , t 2 + t , ? , t k + t ) 则称 {rt } 是严平稳的。 换言之,严平稳性要求 (rt , rt ,?, rt ) 的联合分布在时间的平移下是不变。 1 2 k 注:严平稳性的条件是相当强的,根据定义很难验证。稍微弱一点平稳性是如下 的定义。 。弱平稳 对时间序列 {xt } ,若 (2) Cov( xt , xt ?l ) = γ l 仅与 l 有关, (1) E ( xt ) = ? = const. ; 则称 {xt } 是弱平稳的 或 宽平稳的。 换言之,若 xt 和 xt 与 xt ?l 的协方差均不随时间变化,则 {xt } 是弱平稳的。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 注:1、弱平稳性意味着数据的时间图显示出其值在一个常数水平上下以相同幅 度波动; (请读者 2、在弱平稳性的条件中,隐含地假定了 rt 的头两阶矩均是有限的; 验证) 3、弱平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的头两阶矩上,严平稳对时 间推移的不变性表现在统计平均的概率分布上,二者的要求不同。 。严平稳与弱平稳的关系 命题 1.1 若时间序列 {rt } 是严平稳的,且它的头两阶矩是有限的,则 {rt } 也是若 平稳的。反之一般不成立, 命题 1.2 若时间序列 {rt } 是正态分布的,则严平稳与弱平稳时等价的。 。白噪声序列:若时间序列 {xt } 是一个有有限均值和有限方差的、独立同分 布的随机变量序列,则称 {xt } 为白噪声序列,否则称为有色噪声。 白噪声序列 若 {xt } 还服从均值为 0、方差为 σ 2 的正态分布,则称 {xt } 为高斯白噪声。 注: 白噪声与白色光有相似的特性:白色的光谱在各频率上有相同的强度;白 噪声的谱密度在各频率上的值也相同。 例 1 高斯白噪声序列是弱平稳的。 设高斯白噪声序列 {xt } ,即它们是独立同分布的随机变量且 E ( xt ) = 0 ,又 E ( xt ) = σ 2 。故 2 ? E ( xt 2 ) = σ 2 E[( xt +l ? 0)( xt ? 0) = E ( xt +l xt )] = ? 0 ? 所以 {xt } 是弱平稳的。 若l = 0 若l ≠ 0 。 注:平稳性条件是难以验证的。在实际中,如果某过程前后的环境和主要条件够 不随时间变化,就可以认为是平稳的。如在工业生产中,原料质量、机器性能、 工艺过程、工人技术、自然条件(气温、雨量等)没有剧烈变化,就可以认为其 过程是平稳的。 若进行了工艺革新、设备改造、工人岗位变动等,则这一工业生产过程就是 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 非平稳的了。 。 自协方差 对弱平稳时间序列 {xt } , 协方差 Cov( xt , xt ?l ) = γ l 称为间隔为 l 的 自协方差。 自协方差。命题 1.3 设弱平稳时间序列 {xt } ,则自协方差具有如下性质: (1) γ 0 = Var ( xt ) ; (2) γ ?t = γ t 。 第二节 相关系数和相关函数 对资产收益率 rt ,我们希望用简单模型来刻画 rt 与 t 时刻之前所拥有的信息 之间的线性关系。 这里的信息可以包括 rt 的历史值和决定资产价格的经济环境的 状态。所以,相关系数在理解这些模型中起着重要作用,所研究的变量与其过去 值的相关系数是线性时间序列分析的重点。 这些相关系数被称为自相关系数, 它 们是研究平稳时间序列的基本工具。 随机变量的相关性 随机变量的相关性 两个随机变量 X , Y 的相关系数为: ρ xy = Cov( X , Y ) Var ( X )Var (Y ) = E[( X ? ? x )(Y ? ? y )] E ( X ? ? x ) 2 E (Y ? ? y ) 2 其中 ? x 和 ? y 分别是 X , Y 的均值,并且假定方差是存在的。 注:1、相关系数 ρ xy 度量的是随机变量 X , Y 线性相关的程度。我们知道有以下 性质: (1) ? 1 ≤ ρ xy ≤ 1 且 ρ xy = ρ yx ; (2)若 ρ xy = 0 ,则随机变量是不相关的; (3)若 X , Y 都是正态随机变量,则 ρ xy = 0 ? X , Y 是互相独立的。 2、如果有样本 {( xt , y r )}T=1 ,相关系数可以由它所对应的样本相关系数来估 t 计: Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 T ? ρ xy = ∑ (x t =1 T t =1 t ? x )( y t ? y ) T ∑ ( xt ? x ) 2 ∑ ( y t ? y ) 2 t =1 其中 x = ∑ xt / T , y = ∑ y t / T 分别为 X , Y 的样本均值。 t =1 t =1 T T 自相关函数( 自相关函数(ACF) 函数 ) 。

自相关函数 设时间序列 {xt } ,xt 与 xt ?l 的相关系数称为 {xt } 的间隔为 l 的 自相关系数,记为 ρ l (t ) ,即 ρ l (t ) = Cov( xt , xt ?l ) Var ( xt )Var ( xt ?l ) 注:当时间序列 {xt } 是弱平稳时,自相关系数 ρ l 与时间 t 无关,而只是间隔 l 的 函数,此时由于 Var ( xt ) = Var ( xt ?l ) ,我们有 ρ l == 进一步还有,(1) ρ 0 = 1 ; Cov( xt , xt ?l ) γ l = Var ( xt ) γ0 (2) 弱平稳序列 {xt } 是前后不相关 ? 对所有 l > 0 , ρ l = 0 。 例2 设高斯白噪声 {xt } ,由例 1 已经算得 ?σ 2 , 若l = 0 γ (τ ) = Cov( xt , xt +l ) = ? ? 0, 若l ≠ 0 故高斯白噪声的自相关函数为: γ ( 0) = σ 2 ρ (l ) = ? ?1, 若l = 0 。 ?0, 若l ≠ 0 例3 设 X 是随机变量,Var ( X ) = σ 2 。记 x1 = x 2 = ? = X ,则时间序列 {xt } 有 γ (l ) = Cov( xt , xt +l ) = Cov( X , X ) = σ 2 ,又 γ (0) = σ 2 。所以对任意 l ≥ 1 , ρ (l ) = 1 。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 注:例 3 的结论表明时间序列 {xt } 具有极强的相关性。实际上,该序列的每一项 是相同的,因而也是严平稳的。与例 2 比较可知,白噪声是另一个极端的情形。 。样本自相关函数(ACF) 假定有样本 {xt }T=1 ,则 {xt } 的间隔为 1 的样本自 t 相关系数为 ? ρ1 = ∑ (x t =1 T t ? x )( xt ?1 ? x ) t ∑ (x t =1 T ? x) 2 一般地, {xt } 的间隔为 l 的样本自相关系数定义为 T ? ρl = t = l +1 ∑ (x t ? x )( xt ? l ? x ) , t ∑ (x t =1 T 0 ≤ l < T ?1 ? x) 2 ? 注:1、若 {xt } 是独立同分布(iid)序列,且 E ( xt ) < ∞ ,则对任意固定的 l , ρ l 是 2 渐近地服从均值为 0、方差为 1 / T 的正态分布(见 Brockwellhe 和 Davis(1991)) 。 此结果可以用来检验原假设 H 0 : ρ1 = 0 对备选假设 H a : ρ1 ≠ 0 。 检验统计量 ? 为通常的 t 比,即 T ρ1 ,它渐近地服从标准正态分布。 q 2、若 {xt } 是一个弱平稳序列,满足 xt = ? + ∑ψ i at ?i ,其中ψ 0 = 1 , {a j } 是 i =0 ? 高斯白噪声序列,则对于 l > q , ρ l 渐近地服从均值为 0、方差为 (1 + 2∑ ρ i ) / T 2 i =1 q 的正态分布(见 Box, Jenkins 和 Reinsel(1994)) 。 ? 3、对于有限样本, ρ l 是 ρ l 的有偏估计。 T 事实上,若记 γ?l = ∑ ( xt ? x )( xt ?1 ? x ) ,称其为样本自协方差。因为对于 t =1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 0 ≤ l < T ?1, E (γ?l ) = t = l +1 ∑ E[( xt ? x )( xt ?l ? x )] = T t =l +1 ∑γ T l = (T ? l )γ l ≠ γ l ? 所以, γ?l 是 γ l 的有偏估计。又由于 ρ l = γ?l ? ,所以 ρ l 也是 ρ l 的有偏估计。 γ?0 4、由于偏差的阶为 1 / T ,因此,在样本容量 T 较小时是不容忽视的。但在 大多数金融应用中, T 都是相当大的,故这个偏差影响并不大。 ? ? 定义 称函数 ρ1 , ρ 2 ,? 为 {xt } 的样本自相关函数注:自相关函数(ACF)在线性时间序列分析中起着重要作用。事实上,线性时 线性时间序列的建模就是用样本 ACF 来 间序列模型可以完全由其 ACF 所决定, 刻画数据的线性动态关系的。 第三节 滑动平均模型 在金融收益率序列的建模中有一类简单模型是滑动平均模型, 它可以看作是 白噪声序列的简单推广。 滑动平均模型概念 滑动平均模型的英文为:Moving-Average Model, 缩写为:MA 模型。 。MA(q)模型 假定 {a t } 是均值为零、方差为 σ a 的白噪声序列,则称 2 xt = at ? θ 1 at ?1 ? ? ? θ q a t ? q , q>0 为 q 阶滑动平均模型,简记为 MA(q)模型。 注:1、MA 模型是用白噪声序列组成的一个加权平均; 2、MA 模型具有许多吸引人的特点,包括简单的均值和自协方差结构。 MA 模型性质 。MA(1)模型的均值和方差 2 E ( xt ) = 0 , Var ( xt ) = (1 + θ12 )σ a 对 MA(1)模型: xt = at ? θ 1a t ?1 ,两边取期望可得 E ( xt ) = 0 ;两边取方差可 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 得 2 2 2 Var ( xt ) = E ( xt2 ) = E (a t2 ) ? 2θ 1 E (at a t ?1 ) + θ12 E (a t2 ) = σ a + θ 12σ a = (1 + θ 12 )σ a 。 一般地,我们有如下命题: 命题 3.1 对 MA 模型,我们有 (1) MA 模型是零均值的; (2) MA(q)模型的方差为 2 Var ( xt ) = (1 + θ12 + ? + θ q2 )σ a 。 。MA 模型的平稳性 因为 E ( xt ) = 0 ,且 MA 模型总是弱平稳的。 总 Cov( xt , xt ?l ) = E ( xt xt ?l ) = E (at at ?l ) ? θ1 [ E (at ?1at ?l ) + E (at at ?l ?1 )] + θ1 E (at ?1 at ?1?l ) 2 2 ?? 2θ1σ a =? ? 0 l =1 。 l >1 。MA(1)

模型的自相关函数 在 MA(1)模型 ρ 0 = 1 , ρ1 = ? θ1 , ρl = 0 对 l > 1 1 + θ12 xt = at ? θ1a t ?1 。 两端同乘以 xt ?l ,得 xt ?l xt = xt ?l a t ? θ1 xt ?l a t ?1 , 利用 MA(1)模型的递推性质,将上式右端用白噪声表示,有 xt ?l xt = xt ?l at ? θ1 (at ?l ? θ1 at ?l ?1 )at ?1 = xt ?l at ? θ1 at ?l at ?1 + θ1 at ?l ?1 at ?1 2 两边取期望,得 γ l = E ( xt ?l at ) ? θ1 E (a t ?l a t ?1 ) + θ12 E (a t ?l ?1 at ?1 ) 2 ?? θ1σ a =? ? 0 2 由于 Var ( xt ) = (1 + θ12 )σ a ,故 l =1 l >1 ρ 0 = 1 , ρ1 = ? θ1 , ρl = 0 对 l > 1 。 1 + θ12 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 类似的计算可以得到(请同学自己验证) : 。MA(2)模型的自相关函数 对 MA(2)模型 xt = at ? θ1 at ?1 ? θ 2 at ?2 ,有 ρ 0 = 1 , ρ1 = ? θ1 + θ1θ 2 ?θ2 , ρ2 = , ρl = 0 对 l > 2 。 2 2 1 + θ1 + θ 2 1 + θ12 + θ 22 注:1、上述自相关函数式表明:MA(1)模型的自相关函数在间隔为 1 以后是截 尾的;MA(2)模型的自相关函数在间隔为 2 以后是截尾的; 一般地,对 MA(q)模型有 ρ q ≠ 0 ,但对 l > q 有 ρ l = 0 ,即 MA(q)模 型 的自相关函数在间隔为 l > q 以后是截尾的。因此 MA(q)序列是一个 “有限记忆”模型。 2、 某些金融时间序列有时会有正的均值 ? , 这时就应当是把这个常数均值 ? 添加入到模型中去,使得 MA(q)模型变为 xt = ? + a t ? θ1 a t ?1 ? ? ? θ q a t ? q 那么,通过计算可以得到 E ( xt ) = ? ,而方差和自相关系数均保持不变。 例 3.1 考虑 MA(1)模型: yt = a t ? 1 θ1 a t ?1 ,通过计算(同学自己完成)可得 ρ 0 = 1 , ρ1 = ? θ1 , ρl = 0 对 l > 1 。 1 + θ12 即与上面 MA(1)模型 xt = at ? θ1a t ?1 具有相同的自相关函数。 问题: 问题:MA(1)序列 {xt } 与 { y t } 具有相同的相关系数,那么选择哪一个模型更为合 适呢? 为回答这个问题,我们将白噪声 {a t } 分别用数据 {xt } 与 { y t } 表示: at = xt + θ1 at ?1 = xt + θ1 ( xt ?1 + θ1 at ? 2 ) = xt + θ1 xt ?1 + θ1 xt ?2 + ? 2 (1) (2) at = yt + 1 θ1 at ?1 = y t + 1 θ1 ( y t ?1 + 1 θ1 at ? 2 ) = yt + 1 θ1 y t ?1 + 1 θ1 2 yt ?2 + ? 如果 | θ1 |< 1 ,方程(1)收敛而方程(2)发散,此时我们应当选择 MA(1)序列 {xt } 。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 MA 模型的阶的识别 模型的阶 的阶的 自相关函数是识别 MA 模型的阶的非常有用的工具。 如果 MA 时间序列 {xt } 的自相关函数满足: ρ q ≠ 0 ,但对 l > q 有 ρ l = 0 , 则 xt 服从一个 MA(q)模型。 ? 注:在实际问题中,我们是计算序列的样本自相关函数,如果从某 ρ q 以后 的样本自相关函数显著的小, 则可以近似地视样本自相关函数在 q 项以 后是截尾的,从而是 q 阶 MA 模型。 第四节 自回归模型 另一类常用的模型是自回归模型。 自回归模型之所以有吸引力是因为它与很 传统的线性回归模型非常相像。 美国芝加哥大学证券价格研究中心(CRSP)价值指数的月收益率 rt 具有统 计显著的间隔为 1 的自相关系数,这表明延迟的收益率 rt ?1 在预测 rt 时会有一定 的作用,描述这样的预测功能的模型就是所谓的一阶自回归模型。 自回归模型概念 自回归模型的英文为:Auto Regressive Model,缩写为:AR 模型。 。AR( p)模型 假定 {a t } 是均值为零、方差为 σ a 的白噪声序列,则称 2 xt = ?1 xt ?1 + ? + ? p xt ? p + a t , p > 0 为 p 阶自回归模型,简记为 AR(p)模型。 注:1、自回归模型从形式上看与线性回归模型很相似,但是,两者又有显著的 不同。下面以一阶自回归模型为例来与一阶线性回归模型进行比较: 一阶回归模型: yi = bxi + ε i 一自回归模型: xt = ?1 xt ?1 + at xi 是确定性取值, y i 是随机性变量值, xt 均是随机变量 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 一随机变量对另一确定性变量的依存 一随机变量对自身过去值的依存关系 关系 静态条件下研究 动态条件下研究 a t 独立, xt 之间有相关性 无条件回归 ε i , y i 皆是独立的条件回归 二者之间的联系:若固定时刻 t ? 1 且 xt ?1 已知时,AR(1)是一元线性回归;而 当我们用时间序列的过去(滞后)值代替线性回归模型的预测子后,就得到一个 AR 模型。因此我们有理由相信经典回归所导出的大部分统计结果可以只作少量 的修改就可以

推广到 AR 情形。 2、 p 阶自回归模型反映了系统的 p 期记忆性,或 p 阶动态性质,即,系统 的 t 时刻的状态主要与该时刻之前的 p 个时刻的状态有关,而与 t 时刻之 前 p 个时刻以前的状态无关。 3、模型中 xt 是因变量, xt ?1 , ? , xt ? p 是解释变量, ? j 表示 xt 对 xt ? j 的依赖程 度。 4、对 AR(1)模型,在已知过去收益率 rt ?1 的条件下,我们有 E (rt | rt ?1 ) = ?1 rt ?1 , Var (rt | rt ?1 ) = Var (at ) = σ a , 2 即,给定过去收益率 rt ?1 ,现在的收益率将以 ?1 rt ?1 为中心取值,离散程度 以 σ a 衡量。 2 AR 模型的性质 。AR(1)模型的均值 当 AR(1)序列是弱平稳时,其均值为零,即 E ( xt ) = ? = 0 , ?1 ≠ 1 在 AR(1)序列 xt = ?1 xt ?1 + at 的两边取期望,得 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 E ( xt ) = ?1 E ( xt ?1 ) + E (a t ) 由弱稳定性假设可知 E ( xt ) = E ( xt ?1 ) = ? ,以及对所有的 t , E (a t ) = 0 ,我们有 ? = ?1 ? ,于是,当 ?1 ≠ 1 时有 E ( xt ) = ? = 0 。 。AR(1)模型的方差 当 AR(1)序列是弱平稳时,其方差为 Var ( xt ) = 将 AR(1)模型写为 σ a2 , ?1 ≠ 1 2 1 ? ?1 xt = a t + ?1 xt ?1 两边取方差,得 (4.1) Var ( xt ) = E ( xt ) = E (at ) + 2?1 E ( xt ?1 at ) + ?12 E ( xt2?1 ) 2 2 (4.2) 为计算 E ( xt ?1 a t ) ,我们利用叠代方程(4.1),重复叠代可推得, ∞ xt = at + ?1a t ?1 + ?1 a t ? 2 + ? = ∑ ?1 at ?i 2 i i =0 (4.3) 将(4.3)式两边同乘以 a t +1 再取期望,得 ∞ E ( xt at +1 ) = ∑ ?1 E (a t ?i at +1 ) i i =0 利用白噪声序列 {a t } 的独立性,我们有 E ( xt at +1 ) = 0 。由式(4.2)得 Var ( xt ) = ?1 Var ( xt ?1 ) + σ a 。 2 2 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 在平稳性的假定下, Var ( xt ) = Var ( xt ?1 ) ,故 σ a2 Var ( xt ) = 。 2 1 ? ?1 注: 类似等式 E ( xt at +1 ) = 0 的证明,可以得到等式 E ( xt ?l at ) = 0 ,这表明白噪声 序列 {a t } 在 t 时刻的噪声 a t 与其以前各时刻的历史记录 xt ?l 是独立的。 。AR(1)模型的弱平稳性 由于 AR(1)模型弱平稳的条件之一是方差非负有限,即 0 ≤ Var ( xt ) < ∞ , 所 以 ?1 < 1 ,即 | ?1 |< 1 。于是,我们得到 2 命题 4.1 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at 是弱平稳的必要条件是 | ?1 |< 1 。 注:由命题 4.1,我们可以推得:对 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at ,若系数 | ?1 |≥ 1 , 则该模型不是弱平稳的。 问题:我们如何判断 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at 是弱平稳的呢? 问题 事实上,我们可以证明: 命题 4.2 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at 是弱平稳的 ? | ?1 |< 1 。 。AR(1)模型的自相关函数 当 AR(1)序列是弱平稳时(即 | ?1 |< 1 ) , ρ l = ?1 l , l ≥ 0 在 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at 的两边乘以 xt ?l ,再取期望得到 E ( xt xt ?l ) = ?1 E ( xt ?1 xt ?l ) + E (a t xt ?l ) (4.4) 为计算 E ( xt at ) ,我们在模型 xt = ?1 xt ?1 + at 的两边同乘以 a t 并取期望,得 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 E (at xt ) = ?1 E (at xt ?1 ) + E (at ) = E (at ) = σ t , 2 2 2 这里用到了 a t 与 xt ?1 的独立性。由(4.4)式及关系 γ l = γ ?l ,我们有 ??1γ 1 + σ a 2 γl = ? ? ?1γ l ?1 , 对 l > 0 ,由后一方程 γ l = ?1γ l ?1 推得 若l = 0 若l > 0 ρ l = ?1 ρ l ?1 。又因 ρ 0 = 1 ,故有 ρ l = ?1 。 l 注:1、AR(1)模型的自相关系数从 ρ 0 = 1 开始以比率为 ?1 指数衰减,因此不能在 任意有限间隔后截尾。 (然而由于是一指数衰减,实际问题的计算时,也可 以视为是截尾的。 ) 2、 ?1 为正时, 若 AR(1)模型的自相关函数图在上方以 ?1 比率指数衰减; ?1 若 为负时,AR(1)模型的自相关函数图由上下两个都以 ?1 比率衰减的图形组成。 2 ?1 =0.8 的 ACF 图: Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ?1 =0.8 的 ACF 图: 3、如果把一个常数 ? 0 加入到方程中,使得 AR(1)模型变为 xt = ? 0 + ?1 xt ?1 + a t 仿照上面方法计算可得(请同学自己验证) : (4.4) Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 E ( xt ) = ? = σ a2 ?0 l , Var ( xt ) = , ρ l = ?1 , l ≥ 0 2 1 ? ?1 1 ? ?1 这表明序列 xt 的均值与常数项 ? 0 有关,而方差和自相关函数均保持不变。 易见,

xt 的均值为零 ? ? 0 = 0 。 [为求方差,由上述均值公式可得 ? 0 = (1 ? ?1 ) ? ,代入(4.4)得 xt ? ? = at + ?1 ( xt ?1 ? ? ) 利用此方程重复叠代可推得, xt ? ? = at + ?1 at ?1 + ?1 at ? 2 + ? = ∑ ?1 a t ?i 2 i i =0 ∞ (4.5) 将 ( 4.5 ) 式 两 边 乘 以 a t +1 再 取 期 望 , 并 利 用 序 列 {a t } 的 独 立 性 , 我 们 有 E[( xt ? ? )a t +1 ] = 0 。由协方差定义,Cov( xt ?1 , at ) = E[( xt ?1 ? ? )at ] = 0 。故对(4.4) 式两边平方再取期望,可得 E[( xt ? ? ) 2 ] = E[?1 ( xt ?1 ? ? ) 2 + 2?1 ( xt ?1 ? ? )at + at ] 2 2 即 Var ( xt ) = ?1 Var ( xt ?1 ) + σ a 2 2 2 其中 σ a 是 a t 的方差。在平稳性的假定下, Var ( xt ) = Var ( xt ?1 ) ,故 σ a2 Var ( xt ) = ] 2 1 ? ?1 。AR(2)模型的均值 用类似上面的方法(请同学自己验证) ,可以证明 均值 当 AR(2)序列是弱平稳时,其均值为 E ( xt ) = ? = 0 , ?1 + ?1 ≠ 1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 。AR(2)模型的自相关函数 由 AR(2)模型 xt = ?1 xt ?1 + ? 2 xt ?2 + at 两端同乘以 xt ?l ,有 xt ?l xt = ?1 xt ?l xt ?1 + ? 2 xt ?l xt ? 2 + at xt ?l (4.3) 利用 AR(2)模型的平稳性以及 E ( xt ?l at ) = E ( xt ?l a t ) ? ?E (a t ) = 0 , l > 0 ,对 (4.3) 式两边取期望,得 γ l = ?1γ l ?1 + ? 2 γ l ? 2 , ( l > 0 )称为平稳 AR(2)模型的矩方程。 对上述矩方程两边同乘除以 γ 0 , 我们可以得到平稳 AR(2)时间序列的自相关 函数 ρ l 满足条件: ρ l = ?1 ρ l ?1 + ? 2 ρ l ?2 ( l > 0 )进一步,有 (1) ρ 0 = 1 , ρ1 = ?1 , ρ l = ?1 ρ l ?1 + ? 2 ρ l ?2 1 + ?2 (l ≥ 2 ) (2) 对间隔为 1 的自相关函数,利用 ρ 0 = 1 以及 ρ t 的对称性,有 ρ1 = ?1 ρ 0 + ? 2 ρ ?1 = ?1 + ? 2 ρ1 , ( l > 0 )命题 4.3 若 AR(2)序列是弱平稳的,则其自相关函数满足二阶差分方程 (1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 ) ρ l = 0 ( l > 0 ) 其中 B 是向后推移算子,即 Bρ l = ρ l ?1 。 注: 对弱平稳 AR(2)序列,我们没能得到自相关函数的具体表达式,而仅得到 了自相关函数所满足的差分方程。 。AR(2)模型的特征方程与特征根 上述自相关函数所满足的差分方程决定了平稳 AR(2)时间序列的自相关函 数的特性,同时也决定了 xt 的预测方法。 定 义 : 与 二 阶 差 分 方 程 (1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 ) ρ l = 0 对 应 的 二 次 多 项 式 为 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 x 2 ? ?1 x ? ? 2 = 0 ,称为 AR(2)模型的特征方程,其解称为 AR(2)模型的特征根。 模型的特征方程, 记 AR(2)模型的特征根为 ω1, 2 = ?1 ± ?12 + 4? 2 2 。 (i) 若 ?12 + 4? 2 ≥ 0 ,则 ω1 和 ω 2 均是实数,此时模型中二次差分方程能分解 这表明 AR(2)模型可以看成两个 AR(1)模型的叠加。 此时 xt 成 (1 ? ω1 B)(1 ? ω 2 B) , 的自相关函数是两个指数衰减的混合。 (ii) 若 ?12 + 4? 2 < 0 ,则 ω1 和 ω 2 均是复数, xt 的自相关函数将呈现出减幅的 正弦和余弦的图像。 在经济和商业的应用中, 复数特征根是很重要的, 它们会导致商业环的出现。 对于经济时间序列模型来说,复数特征根是经常出现的。对 AR(2)模型而言,若 出现一对共轭复特征根,则其随机环的平均长度为 k = 360 cos ?1 [?1 /(2 ? ? 2 )] 。 例 考虑美国的实际国民总产值(GNP)的嫉妒增值率,时间是从 1947 年第二个 季度到 1991 年的第一个季度。可以简单利用 AR(3)模型来分析,用 rt 表示增长 率,建立模型为: ? rt = 0.0047 + 0.35rt ?1 + 0.18rt ? 2 ? 0.14rt ?3 + a t , σ a = 0.0098 改写成 rt ? 0.35rt ?1 ? 0.18rt ? 2 + 0.14rt ?3 = 0.0047 + a t 得到对应的三阶差分方程 1 ? 0.35 B ? 0.18 B 2 + 0.14 B 3 = 0 将方程分解为 (1 + 0.52 B )(1 ? 0.87 B + 0.27 B 2 ) = 0 第一个因子 (1 + 0.52 B ) 表示所考虑的 GNP 增长率大体上呈指数衰减;对第二个 因子 1 ? 0.87 B + 0.27 B 2 = 0 ,有 ?12 + 4? 2 = ?0.323 < 0 。因此,这个 AR(3)模型的 第二个因子说明美国的实际 GNP 的嫉妒增长率中存在随机商业环。这一点是合 理的,因为美国经济经历了膨胀和紧缩期。随机环的平均长度大约为 k= 360 cos [?1 /(2 ? ? 2 )] ?1 = 10.83(季度) Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 这大约为 3 年。 若用一个非线性模型把美国经济分解成“膨胀期”和“紧缩期” ,数据将表 明紧缩期平均长度大约为三个季度,而膨胀期的平

均长度为 3 年。10.83 个季度 是这两个平均长度的折中。 。AR(2)模型的弱平稳性 命题 4.4 AR(2)模型 xt = ?1 xt ?1 + ? 2 xt ?2 + at 是弱平稳的条件是其两个特征 根 ω i 的模都小于 1,即 | ω1 |< 1 , | ω 2 |< 1 。(推导从略) 注:如果把一个常数 ? 0 加入到方程中,使得 AR(2)模型变为 xt = ? 0 + ?1 xt ?1 + ? 2 xt ? 2 + a t 仿照上面方法计算可得(请同学自己验证) : (4.6) E ( xt ) = ? = ?0 , ?1 + ?1 ≠ 1 1 ? ?1 ? ? 2 且自相关函数也满足二阶差分方程 (1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 ) ρ l = 0 , 即具有与原来相 同的特征根。 [为求的自相关函数满足的条件,由此均值公式可得 ? 0 = (1 ? ?1 ? ? 2 ) ? ,代 入(4.6)得 xt ? ? = ?1 ( xt ?1 ? ? ) + ? 2 ( xt ? 2 ? ? ) + a t 两端同乘以 xt ?l ? ? ,有 ( xt ?l ? ? )( xt ? ? ) = ?1 ( xt ?l ? ? )( xt ?1 ? ? ) + ? 2 ( xt ?l ? ? )( xt ? 2 ? ? ) + at ( xt ?l ? ? ) 利用 AR(2)模型的平稳性以及 E[( xt ?l ? ? )a t ] = E ( xt ?l at ) ? ?E (at ) = 0 , l > 0 ,对 上式两边取期望,得 γ l = ?1γ l ?1 + ? 2 γ l ? 2 , ( l > 0 ) Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 两边同乘除以 γ 0 ,得 ρ l = ?1 ρ l ?1 + ? 2 ρ l ?2 ( l > 0 )即 ρ l 满足二阶差分方程 (1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 ) ρ l = 0 ] 。AR(p)模型 均值 当 AR(p)序列是弱平稳时,其均值为 E ( xt ) = 0 , ?1 + ? + ? p ≠ 1 特征方程 x p ? ?1 x p ?1 ? ? ? ? p = 0 平稳性条件 特征根 ω i 的模皆小于 1,即 | ω i |< 1 。 自相关函数 当 AR( p )序列是弱平稳时,则其自相关函数满足差分方程 (1 ? ?1 B ? ? ? ? p B p ) ρ l = 0 ( l > 0 )模型的 识别 AR 模型的阶 AR 模型的阶的识别并不像 MA 模型直接利用其自相关函数那么简单,需要 所谓的偏自相关函数 而偏自相关函数的引入比较麻烦且不容易理解, 偏自相关函数。 我们留在 偏自相关函数 下一章再去介绍。 第五节 简单的 ARMA 模型 在有些应用中,为了把握较复杂现象的时间序列,我们需要高阶的 MA 模 型或 AR 模型才能充分地描述数据的动态结构,这样就会有多个参数需要估计, 问题就变得复杂起来。为避免由此带来的困难,人们想到 AR 模型与 MA 模型结 合起来,这就是自回归滑动平均模型(见 Box, Jenkins 和 Reinsel (1994) ) 。 自回归滑动平均模型概念 自回归滑动平均模型的英文为:Auto Regressive and Moving Average Model, 简记为:ARMA 模型。 。ARMA(p,q)模型 假定 {a t } 是均值为零、方差为 σ a 的白噪声序列,则称 2 xt = ?1 xt ?1 + ? + ? p xt ? p + a t ? θ 1 at ?1 ? ? ? θ q at ? q 为 ARMA(p,q)模型。 注:金融中的收益率序列,直接用 ARMA 模型的机会较少。然而,ARMA 模型 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 的概念与波动率建模有密切联系。事实上,推广的自回归条件异方差 (GARCH)模型就可以近似地认为是关于序列 {at } 的 ARMA 模型。 ARMA(1,1)模型的性质 模型的性质 。ARMA(1,1)模型的均值 2 当 ARMA(1,1)序列 xt = ?1 xt ?1 + a t ? θ1 at ?1 是弱平稳时,其均值为零,即 E ( xt ) = ? = 0 , ?1 ≠ 1 在 ARMA(1,1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? θ1 at ?1 的两边取期望,得 E ( xt ) ? ?1 E ( xt ?1 ) = E (a t ) ? θ1 E (a t ?1 ) 由弱平稳性可知:对所有的 t , E ( xt ) = E ( xt ?1 ) = ? 。又由 E (a t ) = 0 ,我们有 ? ? ?1 ? = 0 。于是,当 ?1 ≠ 1 时有 E ( xt ) = ? = 0 。注:一般地, 当序列是弱平稳时,ARMA(1,1) 模型与 AR(1)模型具有相同的期 望值。 。ARMA(1,1)模型的方差 当 ARMA(1,1)序列是弱平稳时,其方差为 2 (1 ? 2?1θ1 + θ12 )σ a Var ( xt ?1 ) = , ?1 ≠ 1 1 ? ?12 在 ARMA(1,1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? θ1 at ?1 的两端乘以 a t 再取期望,得 2 E ( xt at ) = ?1 E ( xt ?1 at ) + E (at ) ? θ1 E (at ?1 at ) = σ a 2 (5.1) 再在模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? θ1 at ?1 的两端取方差,得 Var ( xt ) = E ( xt ) = E (?1 xt2?1 + at2 + θ12 at2?1 + 2?1 xt ?1at ? 2?1θ1 xt ?1 at ?1 ? 2θ1at at ?1 ) 2 2 = ?1 E ( xt2?1 ) + E (at2 ) + θ12 E (at2?1 ) ? 2?1θ1 E ( xt ?1at ?1 ) 2 2 2 2 = ?1 Var ( xt ?1 ) + σ a + θ12σ a ? 2?1θ1σ a 2 (由 a t 与 xt ?1 不相关及(5.1)) Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 所以 2 Var ( xt ?1 ) ? ?1 Var ( xt ?1 ) = (1 ? 2?1θ1 + θ12 )σ a 2 当序列 {xt } 平稳时,有 Var ( xt ?1 ) =

Var ( xt ?1 ) ,故当 ?12 ≠ 1 时,有 2 (1 ? 2?1θ1 + θ12 )σ a Var ( xt ?1 ) = 。 1 ? ?12 。ARMA(1,1)模型的平稳性 由于 ARMA(1,1) 模型弱平稳的必要条件之一是方差是非负有限的,即 0 ≤ Var ( xt ) < ∞ , 所以 ?1 < 1 ,即 | ?1 |< 1 。于是,我们又有 2 命题 5.1 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at 是弱平稳的必要条件是 | ?1 |< 1 。 (这又与 AR(1)模型的条件是相同的。 ) 。 ARMA(1,1)模型的自相关函数 弱平稳时,其自相关函数为: ? θσ2 ??1 ? 1 a ρl = ? γ0 ? ?ρ ? 1 l ?1 l =1 l≥2 当 ARMA(1,1)模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? θ 1 at ?1 是 在 ARMA(1,1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? θ1 at ?1 的两端乘以 xt ?l ,有 xt ?l xt ? ?1 xt ?l xt ?1 = al xt ?l ? θ1 xt ?l a t ?1 假定序列 xt 是弱平稳的,则有 γ l = Cov( xt , xt ?l ) 。 对 l = 1 ,在上式两端取期望,并利用 t ? 1 时的(5.1) 式,我们有 2 γ 1 ? ?1γ 0 = ?θ1σ a (5.2) (注意:此结果与 AR(1)情形的 γ 1 ? ?1γ 0 = 0 不同) 注意: 注意 对 l = 2 ,取期望后得到 γ 2 ? ?1γ 1 = 0 。 注意:此结果与 AR(1)情形是相同 (注意 注意: 的) 一般地,对 l ≥ 2 我们可以得到 γ l ? ?1γ l ?1 = 0 (5.3) Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 2 θ1σ a ,且对 l ≥ 2 有 ρ l = ?1 ρ l ?1 。 γ0 因此, ρ1 = ?1 ? 注:ARMA(1,1) 模型的自相关函数与 AR(1) 模型的自相关函数相像,不同之处 是 ARMA(1,1) 模型的自相关函数从间隔 2 开始以比率 ?1 指数衰减,因此不 能在任意有限间隔后截尾。 。ARMA(p,q)模型的性质 将 ARMA(p,q)模型 xt = ?1 xt ?1 + ? + ? p xt ? p + a t ? θ 1 at ?1 ? ? ? θ q at ? q 改写为 xt ? ?1 xt ?1 ? ? ? ? p xt ? p = a t ? θ 1a t ?1 ? ? ? θ q a t ? q 或 (1 ? ?1 B ? ? ? ? p B p ) xt = (1 ? θ1 B ? ? ? θ q B q )at 记 ? ( B) = 1 ? ?1 B ? ? ? ? p B p , θ ( B ) = 1 ? θ1 B ? ? ? θ q B q ,则上式可以写成 ? ( B ) xt = θ ( B ) a t (5.4) 这 里 分 别 称 多 项 式 ? ( B ) = 1 ? ?1 B ? ? ? ? p B p 和 θ ( B ) = 1 ? θ 1 B ? ? ? θ q B q 为 ARMA 模型的 AR 多项式和 MA 多项式。此地要求 AR 多项式与 MA 多项式没 有公因式,否则模型的阶(p,q)将会降低。 注:1、与 AR 和 MA 模型一样,ARMA 模型的性质通常也可以由它的自相关函 数来刻画。例如,AR 多项式引进了 ARMA 模型的特征方程。若特征方程 的所有根的模皆小于 1,则 ARMA 模型是稳定的;此时序列的均值为 E ( xt ) = 0 。 4、在识别 ARMA 模型的阶时,其自相关函数和偏自相关函数都不是很有用 的。而要用到所谓的推广的自相关函数,其思想是简单的。如果我们能得 到 ARMA 模型的 AR 部分的相合估计,则能导出 AR 部分,对所导出的 MA 序列,用自相关函数来决定 MA 部分的阶(见 Tsay 和 Tiao (1984))。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 第四章 时间序列模型的建立 第一节 时间序列模型的特征函数 自相关函数是时间序列模型的一个特征函数, 其分析方法基本上与平稳随机 过程理论类似,只是结果有很大不同。在时间序列分析中还有一些在平稳随机过 程中所没有的特征函数,如格林函数、逆函数、偏自相关函数等,它们从不同的 侧面来反映时间序列模型的特性。下面我们就来介绍这几个函数。 。格林函数 (Green 函数,G 函数) 格林函数刻画的是时间序列模型对于 过去时刻进入系统扰动的记忆性。 由 ARMA 模型 ? ( B) xt = θ ( B)at 解出 xt ,得 θ ( B) at ? ( B) xt = 用多项式除法,可得 xt = (1 + G1 B + G 2 B 2 + ?)a t 或 xt = ∑ G j B j at = ∑ G j a t ? j , G0 ≡ 1 j =0 j =0 ∞ ∞ 式中的系数 G j 称为格林函数。 利用格林函数 G j , xt 表示为完全由过去时刻的进入系统的噪声 a t ? j 所产生 把 注: 的对 xt 的影响,即系统对过去噪声的记忆性。因此,我们可以用一个 MA 模型 来逼近 xt 的行为。这种表达式称为 xt 的传递形式。 具体地说, 格林函数 G j 是 j 个单位之前进入系统的噪声 a t ? j 对现在响应的权 重。记换句话说,G j 表示了系统对先前噪声 a t ? j 记忆的程度,因此也称为记忆函 数。。MA(q) 模型的格林函数 G0 = 1 , G j = ?θ j , 1 ≤ j ≤ q , G j = 0 , j > q Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 由 MA(q)模型 xt = at ? θ 1 at ?1 ? ? ? θ q a t ? q 显见。 。AR(1)

模型的格林函数 G j = ?1j , j = 0,1,2, ? 由 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at 改写为 (1 ? ?1 B ) xt = at ,解出 xt 得 1 1 ? ?1 B xt = a t = (1 + ?1 B + ?12 B 2 + ?)a t = at + ?1 at ?1 + ?12 at ? 2 + ? = ∑ ?1j at ? j j =0 ∞ 所以 G j = ?1j 。 注:对于 AR(1)模型,如果 | ?1 |< 1 ,则当 j → ∞ 时, G j → 0 ,即系统在充分长 时间后将恢复到它的平衡位置(期望为零) 。这从另外一个角度导出了 AR(1)模 型平稳的条件。 。ARMA(2,1) 模型的格林函数 ? ω ?θ ? ? ω ? θ1 ? j G j = ? 1 1 ?ω1j + ? 2 ?ω ?ω ? ? ω ? ω ?ω 2 , j = 0,1,2, ? ? ? 1 2 ? ? 2 1 ? 其中 ω1 , ω 2 为模型的 AR 多项式的两个根。 由 ARMA(2,1)模型 xt = ?1 xt ?1 + ? 2 xt ? 2 + a t ? θ1 a t ?1 改写为 (1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 ) xt = (1 ? θ1 B )at , 解出 xt 得 xt = 1 ? θ1 B at 1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 (* ) 若 ARMA(2,1)模型有特征根 ω1 与 ω 2 ,即其自回归多项式有分解式: Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 = (1 ? ω1 B)(1 ? ω 2 B) , 则(*)可以作部分分式分解 xt = ? ω ?θ 1 ? θ1 B ω ? θ1 1 1 ? at = ? 1 1 + 2 ? at 2 1 ? ?1 B ? ? 2 B ? ω1 ? ω 2 1 ? ω1 B ω 2 ? ω1 1 ? ω 2 B ? ? ω ?θ =? 1 1 ? ω1 ? ω 2 ω 2 ? θ1 ∞ j j ? ∑ ω B + ω ? ω ∑ ω 2 B ? at j =0 2 1 j =0 ? ∞ j 1 j ∞ ? ω ?θ ω ? θ1 j ? = ∑ ? 1 1 ω1j + 2 ω 2 at ? j ω 2 ? ω1 ? j = 0 ? ω1 ? ω 2 ? ? ω ?θ ? ? ω ? θ1 ? j 所以, G j = ? 1 1 ?ω1j + ? 2 ?ω ?ω ? ? ω ? ω ?ω 2 。 ? ? 1 2 ? ? 2 1 ? 注 : 对于 ARMA(2,1)模型,仅当两个特征根的模均小于 1 时,即 | ω1 |< 1 且 | ω 2 |< 1 ,才有 G j → 0 , j → ∞ ,即系统是平稳的。如果两个特征根有一个模大于 1,将导致 G j 发散,系统就不平稳了。 例1 判定 ARMA(2,1)模型 xt = 1.3 xt ?1 ? 0.4 xt ? 2 + a t ? 0.4a t ?1 的平稳性,并计算它 的格林函数 求解该模型的 AR 多项式 w 2 ? 1.3w + 0.4 = 0 的根,得 w1 = 0.8 , w2 = 0.5 。 由于两个特征根均是小于 1 的正数,所以该模型是平稳的。 将特征根 w1 = 0.8 , w2 = 0.5 代入格林函数计算公式有 Gj = 0 .8 ? 0 .4 0 .5 ? 0 .4 1 × 0 .8 j + × 0 .5 j = × ( 4 × 0 .8 j ? 0 .5 j ) 0 .8 ? 0 .5 0 .5 ? 0 .8 3 于是 1 G0 = × (4 × 1 ? 1) = 1 3 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 1 G1 = × (4 × 0.81 ? 0.51 ) = 0.9 3 G2 = 1 × (4 × 0.8 2 ? 0.5 2 ) = 0.77 3 1 G3 = × (4 × 0.8 3 ? 0.5 3 ) = 0.641 3 。。。 。。。 由此可见,该模型的格林函数呈现快速下降的趋势。 。 逆函数 (I 函数) 逆函数刻画的是时间序列模型的对于过去时刻记录 xt 的 记忆性。 由 ARMA 模型 ? ( B) xt = θ ( B)at 解出 at ,得 ? ( B) xt θ ( B) at = 用多项式除法,可得 at = (1 ? I 1 B ? I 2 B 2 + ?) xt = ∑ (? I j ) B j xt = ∑ (? I j ) xt ? j , I 0 ≡ ?1 j =0 j =0 ∞ ∞ (**) 或 xt = ∑ I j xt ? j + a t j =1 ∞ 式中的系数 I j 称为逆函数。 注:1、利用逆函数,把 xt 表示为过去所有历史时刻的 xt ? j 对系统所产生的影响。 即系统对于过去所有历史时刻的 xt 的记忆性。因此,我们可以用一个 AR 模型来 逼近 xt 的行为。这种表达形式称为“逆转形式” 。 2、(**)式也说明了白噪声序列可以由时间序列的加权平均来表示。 。AR(1) 模型的逆函数 I 0 ≡ ?1 , I 1 = ?1 , I j = 0 , j ≥ 2 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 由 A R(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at 显见。 。MA(1) 模型的逆函数 I j = ?θ1j , j = 0,1,2, ? 由 MA(1)模型 xt = at ? θ1a t ?1 改写为 xt = (1 ? θ1 B )a t ,解出 a t 得 1 1 ? θ1 B at = xt = (1 + θ1 B + θ12 B 2 + ?) xt = xt + θ1 xt ?1 + θ12 xt ? 2 + ? = ∑θ1j xt ? j j =0 ∞ 所以 I j = ?θ1j 。 。ARMA(1,2) 模型的逆函数 ? v ? ?1 ? j ? v 2 ? ?1 ? j I j = ?? 1 ? v ? v ?v1 ? ? v ? v ?v 2 ? ? ? ? 1 2? ? 2 1? 其中 v1 , v 2 为模型的 MA 多项式的两个根。 (请同学自己验证) 注:由上述结论看出:AR(1)模型和 MA(1)模型的格林函数和逆函数之间具有如 下的对偶关系,即 格林函数 AR(1) 逆函数 I 0 = ?1 , I 1 = ?1 , I j = 0 , j ≥ 2 G j = ?1j G0 = 1 , G1 = ?θ1 , G j = 0 , j≥2 MA(1) I j = ?θ1j 观察表格可以看出:AR(1)的 G j 与 MA(1)的 I j 形式一样,仅是符号相反,参 数互换。 一般地,用 ? I j 代替 G j ,用 ? 代替 θ , θ 代替 ? ,且用 AR 多项式 w 的根代 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,

Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 替 MA 多项式的根 v ,即可实现各类林函数与逆函数之间的转换。 (请同学通过 计算 ARMA(1,2)模型的格林函数和 ARMA(2,1)模型的逆函数,自己比较它们之 间的对偶性质。 ) 。 ARMA(p,q) 模型的可逆性 函数 I j 有界。 注:可逆性是对 ARMA 模型滑动平均参数 θ1 , θ 2 ,? , θ q 所施加的一种约束条 件。由 ARMA(1,2)模型的逆函数 I j 与其 MA 多项式的两个根 v1 , v 2 的关系式可 知,该模型可逆的条件为: | v1 |< 1 , | v 2 |< 1 。 一般地,ARMA( p, q )模型可逆当且仅当: | v j |< 1 , j = 1,2, ? , q ,其中 v j 是 ARMA( p, q )模型 MA 多项式的根,即 v j 满足方程: v q ? θ1v q ?1 ? ? ? θ q = 0 。 称一个时间序列模型 xt 是可逆的, 如果它的逆 例 2 判定 ARMA(2,2)模型 xt ? 0.6 xt ?1 + 0.6 xt ? 2 = a t ? a t ?1 + 0.24at ?2 的可逆性。 求解该模型的 MA 多项式 v 2 ? v + 0.24 = 0 的根,得 v1, 2 = 1 (1 ± 0.4 ) ,它们 2 的绝对值均小于 1,故模型是可逆的。 例 3 已知 ARMA 模型的逆函数为 I 0 = ?1 , I 1 = 0.5 , I j = 0.3 × 0.7 j ?2 , j ≥ 2 ,写 出该模型的表达式。 将该 ARMA 模型的逆函数代入其逆转形式 at = ∑ (? I j ) B j xt ,有 j =0 ∞ at = [1 ? 0.5B ? 0.3 × ∑ 0.7 j ? 2 B j ]xt = xt ? 0.5 xt ?1 ? 0.3(∑ 0.7 j B j ) xt ?2 j =2 j =0 ∞ ∞ 即 a t = xt ? 0.5 xt ?1 ? 0.3 1 xt ? 2 1 ? 0 .7 B 两边同乘以 (1 ? 0.7 B ) ,得到 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 (1 ? 0.7 B)a t = ( xt ? 0.5 xt ?1 )(1 ? 0.7 B) ? 0.3 xt ?2 化简为 a t ? 0.7 a t ?1 = xt ? 0.5 xt ?1 ? 0.7 xt ?1 + 0.35 xt ?2 ? 0.3 xt ?2 xt ? 1.2 xt ?1 + 0.05 xt ?2 = a t ? 0.7 a t ?1 即 这是一个 ARMA(2,1)模型。 。偏自相关函数 (PACF) 时间序列的偏自相关函数是它的自相关函数的一个函数, 在决定一个 AR 模 型的阶 p 的时候,偏自相关函数是一个有力的工具。 设时间序列 {xt } , 一个简单而有效的介绍偏自相关函数的方式是考虑如下的 一串 AR 模型: xt = ?11 xt ?1 + a1t xt = ? 21 xt ?1 + ? 22 xt ? 2 + a 2t xt = ? 31 xt ?1 + ? 32 xt ?2 + ? 33 xt ?3 + a 3t 。。。。。 。。。。 xt = ? k 1 xt ?1 + ? k 2 xt ?2 + ? + ? k 4 xt ?k + a kt 。。。。。 。。。。。 其中 ? ki 是 xt ?i 的系数, a kt 是 AR( k )模型的误差项。由于这些模型都是多元回归 ? 的形式,因此可以用最小二乘法来对它们的系数作估计,即选择系数 ? ki 使得 2 ? ? ? δ = E (a kt ) = E[ xt ? (? k1 xt ?1 + ? k 2 xt ?2 + ? + ? kk xt ?k )]2 ? = E ( xt2 ) ? 2∑ ? ki E ( xt xt ?i ) + i =1 k i , j =1 ? ∑? k ki ? ? kj E ( xt ?i xt ? j ) Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 k k 2 ? = γ 0 ? 2∑ ? ki γ i + i =1 i , j =1 ? ∑? ki ? ? kj γ i ? j 达到极小。 定义 ? 使得残差的方差达到极小的 k 阶自回归模型的第 k 项系数 ? kk 称为时 间序列 {xt } 间隔为 k 的偏自相关函数。 注: 1、偏自相关函数与自相关函数有密切的联系,即由下列的 Yule-Wolker 方 程: ? ? ? ? ? k1 ρ 0 + ? k 2 ρ1 + ? + ? kk ρ k ?1 = ρ1 ? ? ρ +? ρ +?+? ρ = ρ ? kk k ? 2 ? ? k1 1 ? k 2 0 2 ? ???????????????? ? ? ? k1 ρ k ?1 + ? k 2 ρ k ?2 + ? + ? kk ρ 0 = ρ k ? ? ? ? 将残差的方差 δ 改写为 ? ? ? δ = E[ xt ? (? k 1 xt ?1 + ? k 2 xt ?2 + ? + ? kk xt ? k )]2 2 ? ? xt ?1 ?? ? ?? ? ? x ? (? , ? , ? , ? )? xt ?2 ?? ? k1 ? k 2 ? kk ? =E t ? ? ?? ? ? ? ? x ?? ? ? t ? k ?? ? ? ? ? ? xt ?1 ? ? xt ?1 ? ? ? k1 ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? x 2 ? 2 x (? , ? , ? , ? )? xt ? 2 ? + (? , ? , ? , ? )? xt ? 2 ?( x , x , ? , x )? ? k 2 ?? ? k1 ? k 2 ? kk ? ? k1 ? k 2 ? kk ? =E t t t ?1 t ?2 t ?k ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?x ? ? ? ?? ?x ? ? ? t ?k ? ? t ?k ? ? ? kk ?? ? ? ? ? ? x t ?1 ? ? ? ? x t ?1 ? ?? ? k 1 ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? xt ?2 ? ?? ? k 2 ? ? ? xt ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? = E ( x t2 ) ? 2(? k1 , ? k 2 , ? , ? kk ) E ? x t ? ( x t ?1 , x t ? 2 , ?, xt ? k ) ?? ? + (? k 1 , ? k 2 , ? , ? kk ) E ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? x ?? ?? x ? ?? ? ? ? ? t ?k ? ? ? ? t ?k ? ?? ? kk ? Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? ? ? x t ?1 ? ? ? ? x t ?1 ? ?? ? k 1 ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? xt ?2 ? ?? ? k 2 ? ? ? xt ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ( x t ?1 , x t ? 2 , ?, xt ? k ) ?? = E ( x t2 ) ? 2(? k1 , ? k 2 , ? , ? kk ) E ? x t ? ? + (?

k 1 , ? k 2 , ? , ? kk ) E ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? x ?? ?? x ? ?? ? ? ? ? t ?k ? ?? ? kk ? ? ? t ?k ? ? γ1 ?γ 1 ? ? γ0 ? ? ? γ0 ?γ ? ? γ ? ? ? ? ? ? = γ 0 ? 2(? k1 , ? k 2 , ? , ? kk )? 2 ? + (? k1 , ? k 2 , ? , ? kk )? 1 ? ? ? ? ? ? ?γ ?γ ? ? k ?1 γ k ? 2 ? k? 则有 ?γ 1 ? ? γ 0 ? ? ? ?δ ?γ ? ? γ = ?2? 2 ? + 2? 1 ? ? ? ?? ki ? ? ? ?γ ?γ ? ? k ? ? k ?1 ? ? γ k ?1 ?? ? k1 ? ? ?? ? ? γ k ? 2 ?? ? k 2 ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? γ 0 ?? ? kk ? ?? γ1 γ0 ? γ k ?2 ? ? γ k ?1 ?? ? k1 ? ? ?? ? ? γ k ? 2 ?? ? k 2 ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? γ 0 ?? ? kk ? ?? ? ? 由 ?δ = 0 ,得 ? ?? ki γ1 ? γ0 ? γ0 ? γ1 ?? ? ? ?γ ? k ?1 γ k ? 2 将矩阵展开得 ? ? γ k ?1 ?? ? k 1 ? ? γ 1 ? ? ? ? ?? ? ? γ k ? 2 ?? ? k 2 ? ? γ 2 ? = ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? γ 0 ?? ? kk ? ? γ k ? ?? ? ? ? ? ? k1γ 0 + ? k 2 γ 1 + ? + ? kk γ k ?1 = γ 1 ? ? γ +? γ +?+? γ ? kk k ?2 = γ 2 ? ? k1 1 ? k 2 0 ? ????????????????? ? ? k 1γ k ?1 + ? k 2γ k ?2 + ? + ? kk γ 0 = γ k ? ? ? ? 各等式两端同除以 γ 0 ,则有 ? ? ? ? ? k1 ρ 0 + ? k 2 ρ1 + ? + ? kk ρ k ?1 = ρ1 ? ? ρ +? ρ +?+? ρ = ρ ? kk k ? 2 ? ? k1 1 ? k 2 0 2 ? ????????????????? ? ? k1 ρ k ?1 + ? k 2 ρ k ?2 + ? + ? kk ρ 0 = ρ k ? ? ? ? Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 2、利用 Yule-Wolker 方程,我们可以得到偏自相关函数的计算公式: ρ0 ρ1 ρ1 ? ρ0 ? ρ k ?2 ρ k ?3 ρ1 ρ2 ρ0 ρ ? ? ?11 = ρ1 ,? 22 = 1 ρ0 ρ1 ρ1 ? ? ? ? ρ ρ k ? 2 ? ρ1 ρ k ρ2 , 。。。 ,? kk = k ?1 。。。 ? , 。。。 。。。 ρ1 ρ0 ρ1 ? ρ k ?1 ρ0 ρ1 ρ 0 ? ρ k ?2 ? ? ρ k ?1 由此可以看出,偏自相关函数是自相关函数的函数。 ρ k ?2 ? ? ? ρ0 ? 对于 k = 1 ,显然由第一个方程式即得 ?11 = ρ1 。对 k = 2 ,由方程 ? ? ?? 21 ρ 0 + ? 22 ρ1 = ρ1 ? ? ? ?? 21 ρ1 + ? 22 ρ 0 = ρ 2 利用克莱姆法则得 ρ0 ρ ? ? 22 = 1 ρ0 ρ1 对 k = 3 ,由方程 ρ1 ρ2 ρ1 ρ0 ? ? ? ?? 31 ρ 0 + ? 32 ρ1 + ? 33 ρ 2 = ρ1 ? ? ? ? ?? 31 ρ1 + ? 32 ρ 0 + ? 33 ρ1 = ρ 2 ?? ρ + ? ρ + ? ρ = ρ 3 ? ? 31 2 ? 32 1 ? 33 0 利用克莱姆法则得 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ρ0 ρ1 ρ ? ? 33 = 2 ρ0 ρ1 ρ2 ρ1 ρ0 ρ1 ρ1 ρ0 ρ1 ρ1 ρ2 ρ3 ρ2 ρ1 ρ3 ? 3、 偏自相关函数 ? 22 所表示的是: AR(1)模型 xt = ?11 xt ?1 + a1t 的基础上添 在 ? 加 的 xt ?2 对 xt 的 贡 献 ; 偏 自 相 关 函 数 ? 33 所 表 示 的 是 : 在 AR(2) 模 型 xt = ? 21 xt ?1 + ? 22 xt ? 2 + a 2t 的基础上添加的 xt ?3 对 xt 的贡献;一般地,偏自相关函 ? 数 ? kk 所表示的是: AR( k ? 1 )模型 xt = ? k ?1,1 xt ?1 + ? k ?1, 2 xt ? 2 + ? k ?1, 2 xt ? k ?1 + a k ?1,t 的 在 ? 基础上添加的 xt ? k 对 xt 的贡献。换言之, ? kk 所表示的是在 AR( k ? 1 )模型的基础 上添加的 xt ? k 时 xt 与 xt ? k 的相关关系,而不是完全的 xt 与 xt ? k 的相关关系,因而 被称为偏自相关函数。 4、对于一个 AR(p)模型来说,间隔为 p 的偏自相关函数应当不等于零,而 ? ? 大于 p 阶的偏自相关函数应当为零,即有 ? pp ≠ 0 且对所有的 k > p , ? kk = 0 。 ? 5、如果用样本自相关函数 ρ k 代替 Yule-Wolker 方程中自相关函数 ρ k ,则所 ? ? 得到的 ? kk 称为样本偏自相关函数, 即 样本偏自 ? ρ0 ? ρ1 ? ? ? kk ? ρ1 ? ? ρ0 ? ? ρ k ?2 ? ρ k ?3 ? ρ1 ? ρ2 ? ? ? ? ? ? ? ? ρ ρ k ? 2 ? ρ1 ρ k = k ?1 , k = 1,2, ? ? ? ? ρ0 ρ1 ? ρ k ?1 ? ? ? ρ1 ρ 0 ? ρ k ?2 ? ? ? ? ? ? ? ρ k ?1 ρ k ?2 ? ρ 0 例4 已知 AR(2)模型为 xt ? xt ?1 + 0.5 xt ? 2 = at , 其中 a t 是均值为 0 方差为 0.5 的 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 白噪声序列,写出该模型的 Yule-Walker 方程,并求出其自相关函数 ρ1 和 ρ 2 ,偏 自相关函数。 由于 ? 21 = 1 , ? 22 = ?0.5 ,并且 ρ 0 = 1 ,所以该模型的 Yule-Walker 方程为: ?1 ? 0.5 ρ1 = ρ1 ? ? ρ1 ? 0.5 = ρ 2 由此解得自相关函数 ρ1 = 2 1 , ρ 2 = 。偏自相关函数为 3 6 1 ? ?11 = ρ1 = 2 ? , ? 22 = 3 3 1 2 3 2 2 3 1 6 2 3 1 =? 。 2 1 ? 注:1、此时有 ? 22 = ? 22 ,请同学考虑这说明了什么? 2、重要的是对给定的时间序列的一组样本数据,我们来计算样本自相关函 数和样本偏自相关函数。 第二节 模型的识别 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 建立一个时间序列的数学模型,首先要根

据数据信息的先验知识,以及所提 供的时间序列数据的特征,提出一个相适应的模型类别。其次要根据实际的观测 数据具体地确定该类数学模型所包含的阶数及各项系数的数值。 前者叫做模型的 识别,后者叫做模型的定阶及参数估计。 从已知的模型族中选择与其相吻合的 模型的识别 对一个观测序列 x1 , x 2 , ? , x n , 模型类型,称为模型的识别。 Box-Jenkins 模型识别法 根据样本自相关、偏自相关函数的尾部性态来判断时 间序列所适合的模型类型 零均值平稳序列自相关和偏自相关函数的统计特征模型 自相关函数 偏自相关函数 AR 拖尾 截尾 MA 截尾 拖尾 ARMA 拖尾 拖尾 识别的依据假定 {xt } 是零均值的平稳时间序列,则 ? (1) 若 {xt } 的样本自相关函数 ρ k 在 k > q 后截尾,则 {xt } 是 MA(q)序列; ? ? (2) 若 {xt } 的样本偏自相关函数 ? kk 在 k > p 后截尾,则 {xt } 是 AR(p)序列; ? ? ? (3) 若 {xt } 的样本自相关函数 ρ k 和样本偏自相关函数 ? kk 均是拖尾的,则 {xt } 是 ARMA(q)序列; 平稳性检验 时间序列的平稳性是时间序列建模的前提。一般说来,某个实测过程如果它 的系统参数和运行时周围的条件不改变,即可视为平稳的。然而这仅仅是一种定 性判据,还需要依据一些统计方法进一步检验。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 弱平稳条件 参数检验法 E ( xt ) = ? = const. ; Cov( xt , xt ?l ) = γ l 仅与 l 有关。 设样本序列 x1 , x 2 , ? , x N 足够长,即 N 相当大。把样本序列分成 k 个子序列, 即取 N = kM (M 是一个相当大的正整数) ,使得分段后的样本序列为 x11 , x12 ,? , x1M ? x 21 , x 22 ,? , x 2 M ? ? ? = {x( i ?1) M + j } ?????? ? x k1 , x k 2 ,? , x kM ? ? 对于 k 个子序列,分别计算它们的样本均值、样本方差和样本自协方差函数: 1 ? xi = M ∑x j =1 M M ij , ? σ i2 = 1 M ∑ (x j =1 ij ? xi ) 2 , γ?li = 1 M ∑ (x j =1 M ij ? xi )( xi , j +l ? xi ) , 其中 l = 1,2,? , m且m << M 。 ? 根据平稳性的要求,统计量 xi , σ i2 , 和γ i 对不同的子序列 i 不应有显著的差异,否 则就应否定 {xt } 是平稳序列的假定。 非参数检验法(游程检验法、轮次检验法)非参数检验法只涉及一组史册数据,而不需要假设数据的分布规律,因此具 有很好的实用性。 设 x1 , x 2 , ? , x N 是一个样本序列,定义其游程为具有相同符号的序列,这种 符号把样本序列分成两个互相排斥的子序列。 例如, x1 , x 2 , ? , x N 是一个样本序列,x 为其均值, 设 定义一个符号序列如下: 第 i 个符号为“+” ? xt ≥ x ; 第 i 个符号为“—” ? xt < x 。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 按符号“+”和“—”出现的顺序排列为一个序列,如: + + + — 共有 7 个游程。 注: 每个游程的长短并不重要。游程太多或太少都被认为是存在非平稳性趋势 的。 游程检验所判断的原假设:样本数据出现的顺序没有明显的趋势,就是平稳的。 采用的样本统计量有: + + — — — + + + + — — — — + N 1 = 一种符号出现的总数, N 2 = 另一种符号出现的总数, γ = 游程的总数, 其中 γ 为检验统计量。 游程检验分布表 4-1 对于显著水平 α = 0.05 的双边检验,游程检验分布表 4-1 给出概率分布左右 两侧为 α / 2 = 0.025 时的上限 γ U 和下限 γ L 。 如果实际的游程总数 双边) 界线内, 如果实际的游程总数 γ (双边)在表 4-1 中给出的 γ U 和 γ L 界线内,则可以 接受平稳性假设;否则拒绝。 接受平稳性假设;否则拒绝。此时, p (γ ≤ γ L ) + p (γ ≥ γ U ) = 0.05 例 设样本序列 x1 , x 2 ,? , x 22 ,均值为 x ,按照第 i 个符号为“+”? xt ≥ x ; 第 i 个符号为“—” ? xt < x 的规则,其符号序列如下: ++ — — — + — — +++++ — — + — — + + — + 因 N 1 =12(+), N 2 =10(—), γ = 11 。查表 4-1 得原假设的接受域为 7 ≤ γ ≤ 17 ,故 原序列没有明显的趋势,即可以认为序列是平稳的。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 均值 ? 检验 设样本序列 x1 , x 2 , ? , x N ,则样本均值为 N x= 1 N ∑x j =1 j 为检验序列是否为零均值,即是否有 ? = E ( xt ) = 0 ,我们计算样本均值的标准差 S .E.( x ) 如下: Var ( x ) = E ( x ? ? ) 2 = E ( 1

N2 1 N ∑x t =1 N t ? ?)2 1 N2 = ∑∑ ( x s =1 t =1 N N t ? ? )(x s ? ? ) = ∑∑ γ s =1 t =1 N N t ?s 令 k = t ? s ,有 Var ( x ) = 1 N2 k = ? ( N ?1) ∑ ( N ? | k |)γ k = N ?1 1 N k = ? ( N ?1) ∑ N ?1 (1 ? |k| )γ k 。 N 故当 N 很大时,有 Var ( x ) ≈ 1 N k = ?∞ ∑γ ∞ k 所以, S .E.( x ) = Var ( x ) ≈ [ 1 N k k = ? ( N ?1) ∑γ N ?1 1 ]2 范围内,则可以认为序列 是零均值的。 如果样本均值 x 在 0 ± 2S.E.( x ) 范围内,则可以认为序列 {xt } 是零均值的。 注:1、若序列的均值显著非零,则需用样本均值作为其估计对序列进行零均值 化,或者将均值作为一个参数进行估计。 2、在具体对时间序列进行零均值检验时,可以结合初步判断的模型和该模 型自相关函数的理论特性来计算 Var ( x ) 。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 例 如 , 对 AR(1) 模 型 , 已 知 其 自 相 关 函 数 满 足 : ρ k = ?1k ?1 ρ1 。 由 公 式 Var ( x ) ≈ 1 N k = ?∞ ∑γ γ0 N ∞ k 可得 Var ( x ) ≈ [1 + 2∑ ρ k ] = k =1 ∞ γ0 N [1 + 2∑ ?1k ?1 ρ1 ] = k =1 ∞ γ0 N [1 + γ 1 + ρ1 2 ρ1 ]= 0 1 ? ρ1 N 1 ? ρ1 ? 用样本序列的估计值 γ?0 , ρ1 代替 γ 0 , ρ1 ,即可近似计算出 Var (x ) 。 几种常用的低阶模型的 Var (x ) 计算公式: AR(2)模型 Var ( x ) ≈ γ 0 (1 + ρ1 )(1 ? 2 ρ12 + ρ 2 ) N (1 ? ρ1 )(1 ? ρ 2 ) γ0 N MA(1)模型 Var ( x ) ≈ (1 + 2 ρ1 ) MA(2)模型 Var ( x ) ≈ γ0 N (1 + 2 ρ1 + 2 ρ 2 ) ARMA(1,1)模型 Var ( x ) ≈ γ 0 ( ρ1 ? ρ 2 + 2 ρ12 ) N ( ρ1 ? ρ 2 ) ? 自相关函数 ρ k 的检验 设样本序列 x1 , x 2 , ? , x N ,则样本自相关函数为 N ? ρk = t = k +1 ∑ (x t ? x )( xt ? k ? x ) , t ∑ (x t =1 N 0 ≤ k < N ?1 ? x) 2 ? 根据 Box-Jenkins 研究结果,若 k > q ,应有 ρ k = 0 ,则此时自相关函数 ρ k 渐近 于正态分布: Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 q 1 ?j (1 + 2∑ ρ 2 )) N j =1 ? ρ k ~ N (0, ? 据此可以检验 ρ k 是否显著地等于零。 根据上述正态分布(按 σ 原则)有 q 1 ? ? 1 ? | ρ k |≤ ? ?j (1 + 2∑ ρ 2 ) 2 ? = 68.3% p? ? N j =1 ? ? ? ? ? 对于每一个 k > 0 , 分别检验 ρ k +1 ,ρ k + 2 , ? ,ρ k + M( M 根据经验一般取 N 或 N 10 ? 左右) ,看其中满足 | ρ k + j |≤ 1 N ?j (1 + 2∑ ρ 2 ) 2 的个数是否占总数( M 个)的 1 q j =1 68.3%。如果在 k = 1,2, ? , q ? 1 时都没有达到,而在 k = q 时达到了,那么我们就 ? 说自相关函数 ρ k 是在 q 步截尾的。 注:也可以根据上述分布(按 2 σ 原则)得到 q 1 ? ? 2 ? ?j p? | ρ k |≤ (1 + 2∑ ρ 2 ) 2 ? = 95.5% ? ? N j =1 ? ? ? ? ? ? 检验 ρ k +1 , ρ k + 2 , ? , ρ k + M 中满足 | ρ k |≤ 2 N ?j (1 + 2∑ ρ 2 ) 2 的个数是否占总 1 q j =1 数( M 个)的 95.5%。 ? ? 偏自相关函数 ? kk 的检验 设样本序列 x1 , x 2 , ? , x N ,则样本自相关函数为 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? ρ0 ? ρ1 ? ? ? kk ? ρ1 ? ? ρ0 ? ? ρ k ?2 ? ρ k ?3 ? ρ1 ? ρ2 ? ? ? ? ? ? ? ? ρ ρ k ? 2 ? ρ1 ρ k = k ?1 , k = 1,2, ? ? ? ? ρ0 ρ1 ? ρ k ?1 ? ? ? ρ1 ρ 0 ? ρ k ?2 ? ? ? ? ? ? ? ρ k ?1 ρ k ?2 ? ρ 0 ? ? 根据 Box-Jenkins 的研究结果,若 k > p ,应有 ? kk = 0 ,则此时偏自相关函数 ? kk ? 渐近于正态分布 ? kk ~ N (0, 1 ) ,则有 N ? 1 ? p? | ? kk |≤ ? = 68.3% ? ? ? N? ? ? ? ? 对 于 每 一 个 k > 0 , 分 别 检 验 ? k +1,k +1 , ? k + 2,k + 2 , ? , ? k + M ,k + M , 看 其 中 满 足 ? | ? k + j ,k + j |≤ 1 N 的个数是否达到比例 68.3%。如果在 k = 1,2, ? , p ? 1 时都没有达 ? 到,而在 k = p 时达到了,那么我们就说偏自相关函数 ? kk 是在 p 步截尾的。 第三节 模型的定阶 的定阶与参数估计 第三节 模型的定阶与参数估计 当我们确定了时间序列模型的类型之后, 还需要知道该类模型的阶数和模型 的参数。判定模型的阶数的过程称为模型的定阶,确定模型的参数的过程称为模 型参数的估计。 常见的模型定阶准则由如下四类: (1) 相关函数定阶法----这是一种初步的定阶方法, 可以在建模开始时加以粗 处略地估计; (2) 残差方差图定阶法; (3) F 检验方法----这是一种数理统计的方法; (4) 利用信息准则,即定义一个与模型阶数信息有关的特征参数,从而选取 使它达到最小值的阶数作为模型的阶数,其中包括 AIC, BIC, FPE 及其它准则。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance

and Economics, 2006 金融时间序列分析 常见的模型定阶准则由如下四类: (1) 矩估计; (2) 最小二乘法; (3) 极大似然估计。 相关函数定阶法 根据模型识别中的讨论,我们已经知道:如果一个时间序列的样本自相关函 ? 数 ρ k 是在 q 步截尾的,则该序列是 MA(q)模型;如果时间序列的样本偏自相关 ? 函数 ? kk 是在 p 步截尾的,则该序列是 AR(p)模型;如果时间序列的样本自相关 函数和样本偏自相关函数都是拖尾的,则该模型必是 ARMA 模型,但其阶数却 无法确定,需要应用其它方法来判别。 值得注意的是,即使对 MA 或 AR 模型,运用相关函数来确定其阶数也只是 初步的,还要结合其它方法进一步确定出模型的精确阶数。 残差方差图定阶法 残差分析的思想: 衡量一个模型是否合适,就是要看它在拟合实际的时间序列时,残差 {a t } 是否为白噪声序列。如果所选拟合模型的残差接近于白噪声,就意 味着模型已接近于包含给定的时间序列所提供的全部信息。反之,则意味着残差 中含有有用的信息,应该继续加大模型的阶数,以便将残差中的有用信息挖掘出 来,直至残差 {a t } 成为白噪声为止。 分析方法: 假定模型是有限阶的。若选择的拟合模型的阶 n 小于模型真正的阶 ?2 数,则是一种不足拟合,此时的剩余平方和 Q 必偏大,即 σ a (n) 将比真正模型的 2 ?2 残差方差 σ a 大。加大模型的阶数为 n + 1 后,剩余平方和 σ a (n + 1) 会显著地比 ? σ a2 (n) 小。当 n 达到真值后,再进一步加大模型的阶数为 n + 1 后,就是过渡拟合, ?2 其剩余平方和 σ a (n + 1) 将不会显著减小,甚至还会增大。 ? 定阶方法: 作残差方差图,即 n -- σ a2 (n) 图形,从下降到平缓的分界点所对应 的 n 即为模型的阶数。 注:1、一般地,残差方差的估计式取为: Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ?2 σ a ( n) = 模型的剩余平方和 实际观察值个数 ? 模型的参数 实际观察值个数:指拟合模型时实际使用的观察值项数,如:对 N 个观察 值的序列, 若拟合 AR(n)模型, 则实际观察值最多为 N ? n 项。 模型参数个数:指模型中实际包含的参数个数,如模型中含有均值项,则模 型的参数个数为模型阶数加 1。 ?2 具体地,AR 模型: σ a (n) = ? ? ? Q ( ? , ?1 , ? , ? n ) ( N ? n) ? (n + 1) ? ? ? Q(? ,θ1 , ?,θ m ) N ? (m + 1) ? ? ? ? ? Q ( ? , ?1 , ? , ? n , θ 1 , ? , θ m ) ( N ? n) ? (n + m + 1) ?2 MA 模型: σ a (m) = ?2 ARMA 模型: σ a (n, m) = AR 模型的参数估计: 第一步:对每一个自然数 n ,确定拟合的 n 阶自回归模型 ? ? ? xt = ?1 xt ?1 + ? + ? n xt ?n + a t ? 其中的系数 ? i 可以按照 Yule-Wolker 方程来确定。 ? 设样本序列 x1 , x 2 , ? , x N ,由样本偏自相关函数 ? nn 所满足的 Yule-Wolker 方 程 ? ? ρ0 ? ? ? ρ1 ? ? ? ?ρ ? ? n ?1 ? ρ1 ? ρ0 ? ? ρ n?2 ? ? ? ? ρ n ?1 ?? ? n1 ? ? ρ1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ρ n ? 2 ?? ? n 2 ? ? ρ 2 ? ?? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ρ 0 ?? ? nn ? ? ρ n ? 解得 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? ? ? ? n1 ? ? ρ 0 ? ? ? ? ? ? ? n 2 ? ? ρ1 ?? ? = ? ? ? ? ? ?? ? ? ρ ? nn ? ? ? n ?1 ? ? ρ1 ? ρ0 ? ? ρ n?2 ? ? ρ n ?1 ? ? ? ? ρ n?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ρ0 ? ?1 ? ? ρ1 ? ? ? ? ? ρ2 ? ?? ? ? ? ?ρ ? ? ?n ? ? ? ? ? 则取 ? i = ? ni ,即可选拟合模型为 xt = ? n1 xt ?1 + ? + ? nn xt ?n + a nt 第二步:对每一个自然数 n ,作矩估计 ?2 σ a (n) = ? ? ? Q( ? , ?1 , ? , ? n ) ( N ? n) ? (n + 1) ? ? ? 这里 Q( ? , ?1 , ? , ? n ) = t = n +1 ∑[x N t ? ? ? ? (? n1 xt ?1 + ? n 2 xt ? 2 + ? + ? nnk xt ? n )] 2 第三步 作出残差方差图,确定模型的阶数。 注:AR(n)模型参数的矩估计也可以按照以下方式来进行: ? ? ? ? ?2 σ a (n) = γ?0 (1 ? ?1 ρ1 ? ? ? ? n ρ n ) 事实上,由自协方差函数定义 γ k = E ( xt xt ?k ) = E[ xt ?k (?1 xt ?1 + ? + ? n xt ? n + at )] 当 k = 0 时, γ 0 = ?1 E ( xt xt ?1 ) + ? + ? n E ( xt xt ?n ) + E ( xt a t ) = ?1γ 1 + ? + ? n γ n + E[(?1 xt ?1 + ? + ? n xt ? n + at )at ] 2 = ?1γ 1 + ? + ? nγ n + σ a 所以, σ a2 = γ 0 ? ?1γ 1 ? ? ? ? n γ n 2 ? 将 ? i , γ i 分别用 ? i , γ?i 代替,得到 σ a (n) 的估计 ? ? ? ? ? ? ?2 σ a (n) = γ?0 ? ?1γ?1 ? ? ? ? n γ? n = γ?0 (1 ? ?1 ρ1 ? ? ? ? n ρ n ) Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分

析 ? ? ? 例 对于 AR(1)模型, ?1 = ?11 = ρ1 ,所以 MA 模型的参数估计和矩估计: ? ? ? ? σ a2 (n) = γ?0 (1 ? ?1 ρ1 ) = γ?0 (1 ? ρ12 ) 由于模型不是自回归的,因此我们无法利用 Yule-Wolker 方程把拟合模型的 系数先确定出来。下面介绍的方法是将拟合的滑动平均模型 x t = a t ? θ 1 a t ?1 ? ? ? θ m a t ? m 2 的系数 θ i 与残差方差 σ a (m) 一并来进行估计。 考虑自相关函数 γ k = E ( xt xt ?k ) = E[ xt ?k (at ? θ1at ?1 ? ? ? θ m at ?m )] 由格林函 数表示 式 xt = ∑ G j at ? j ,以及上 述的 m 阶 MA 模型 的格林 函数 j =0 ∞ G0 = 1; G j = ?θ j ,1 ≤ j ≤ m; G j = 0, j > m ,我们有 ∞ ∞ ∞ γ k = E (at ∑ G j at ?k ? j ) ? θ1 E (at ?1 ∑ G j at ? k ? j ) ? ? ? θ m E (at ?m ∑ G j at ? k ? j ) j =0 j =0 j =0 = ∑ G j E (at at ?k ? j ) ? θ1 ∑ G j E (at ?1 at ?k ? j ) ? ? ? θ m ∑ G j E (at ?m at ?k ? j ) j =0 j =0 j =0 ∞ ∞ ∞ = E (at at ?k ) ? ∑ θ j E (at at ? k ? j ) ? θ1 E (at ?1at ?k ) + θ1 ∑ θ j E (at ?1 at ?k ? j ) ? ? j =1 j =1 m m ? ? θ m E (a t ? m a t ? k ) + θ m ∑ θ j E ( at ? m at ? k ? j ) j =1 m 当 k = 0 时, 2 2 2 γ 0 = E (a t at ) + θ12 E (a t ?1 a t ?1 ) + ? + θ m E (at ?m a t ?m ) = (1 + θ12 + ? + θ m )σ a 当 1 ≤ k ≤ m 时, Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 m γ k = ?θ k E (at ?k at ?k ) + θ k ∑ θ j E (at ?k at ? k ? j ) ? j =1 ? θ k +1 E ( a t ? k ?1 a t ? k ) + θ k +1 ∑ θ j E ( a t ? k ?1 a t ? k ? j ) ? ? j =1 m ? ? θ m E ( a t ? m a t ? k ) + θ m ∑ θ j E ( a t ? m at ? k ? j j =1 m = ?θ k E (at ?k at ? k ) + θ k +1θ1 E (at ?k ?1at ?k ?1 ) + ? + θ mθ m? k E (at ? m at ? k ?( m? k ) ) 2 = (?θ k + θ k +1θ 1 + ? + θ mθ m ? k )σ a 当 k > m 时, γ k = 0 。 用样本自相关函数 γ? k 代替 γ k , 我们得到关于 m + 1 个参数 θ1 , ? , θ m , σ a 的方程 组: 2 2 γ?0 = (1 + θ12 + ? + θ m )σ a 2 γ? k = (?θ k + θ k +1θ1 + ? + θ mθ m ?k )σ a , 1 ≤ k ≤ m 注意,这是一个非线性方程组 非线性方程组,一般求解问题时比较困难的。下面我们先来直接 非线性方程组 求这方程组的解。 2 2 当 m = 1 时,有 γ?0 = (1 + θ12 )σ a , γ?1 = ?θ1σ a 。由后一式得 θ1 = ? γ?1 ,代入 σ a2 前一式得 γ?0 = (1 + γ?12 2 )σ a ,即 4 σa 4 2 σ a ? γ?0σ a + γ?12 = 0 。 解得 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 σ = 2 a γ?0 ± γ?02 ? 4γ?12 2 = 1 ? γ?0 (1 ± 1 ? 4 ρ12 ) 2 ? ? θ1 = (?2 ρ1 ) (1 ± 1 ? 4 ρ12 ) 注意:上面求得模型参数是多值的,根据可逆性条件( | θ1 |< 1 )可以排除 θ 的多 值性,求得 ? ? θ1 = (?2 ρ1 ) (1 + 1 ? 4 ρ12 ) 2 ? σ a = γ?0 (1 + 1 ? 4 ρ12 ) 1 2 2 2 2 当 m = 2 时,有 γ?0 = (1 + θ 12 + θ 22 )σ a , γ?1 = (?θ1 + θ 2θ 1 )σ a , γ? 2 = ?θ 2σ a 。于 是 2 θ 2 = ? γ? 2 σ a , θ1 = ? 2 γ?12 γ? 2 , σ (1 + 2 + 4 ) = γ?0 2 2 ?2 σ a + γ?2 (σ a + γ 2 ) 2 σ a 2 a γ?1 4 第三个方程含有 σ a ,是一个四次方程组,σ a 应有四个根,从而 θ1 ,θ 2 将有四种可 能的解。根据可逆性条件仍可以求得唯一解。 注:在用直接求解的方法时,一般需要解 2m 次方程,这在 m ≥ 3 时,求解是非常 困难的,通常只能用数值解法。下面的线性迭代法,为我们求得数值解提供 了一个简便而使用的方法。 线性迭代法 将方程组 2 2 2 γ?0 = (1 + θ12 + ? + θ m )σ a , γ? k = (?θ k + θ k +1θ1 + ? + θ mθ m ?k )σ a , 1 ≤ k ≤ m 改写为 σ a2 = γ?0 2 1+θ +?+θm 2 1 , Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 θk = ? γ? k + θ k +1θ1 + ? + θ mθ m ?k , 1 ≤ k ≤ m 2 σa 2 2 任取 θ1 , ? , θ m , σ a 的一组初始值 (如 θ1 = ? = θ m = 0, σ a = γ 0 )代入方程组的右边, , 2 ( 得 到 左 边 的 一 组 值 , 记 为 σ a (1) , θ 1()1 , ? , θ m1) , 称 为 第 一 步 迭 代 值 ; 再 将 ( 2 ( σ a2(1) ,θ1(1) ,? ,θ m1) 代入方程组的右边, 得到左边的一组值, 记为 σ a ( 2 ) , θ1( 2 ) , ? , θ m2) , 称为第二步迭代值;如此下去,直到相邻两步迭代值相差不大时便停止迭代,比 2 ( 如 为 第 k 步 和 第 k + 1 步 , 则 取 第 k 步 的 迭 代 值 σ a ( k ) , θ1( k ) , ? , θ mk ) 作 为 参 数 ? ?2 ? σ a2 ,θ1 ,? , θ m 的估计 σ a ,θ1 ,?, θ m 。 ARMA 模型的参数估计和矩估计: 为估计一般 ARMA (n,m)模型的参数,分以下三个步骤: 第一步:先估计 AR 部分参数 ?1 , ? , ? n 。 对 ARMA (n,m)模型 xt ? ?1 xt ?1 ? ? ? ?

n xt ? n = at ? θ1a t ?1 ? ? ? θ m a t ?m 为计算自相关函数,两端同乘以 xt ?k ,并取期望,得 γ k ? ?1γ k ?1 ? ? ? ? n γ k ?n = E ( xt ?k at ) ? θ1 E ( xt ?k at ?1 ) ? ? ? θ m E ( xt ? k at ? m ) 因为 2 ?G? k σ a E ( xt ? k at ) = E ( ∑ G j a ( t ? k ) ? j at ) = ? j =0 ? 0 ∞ k≤0 k >0 代入上式后,并同时除以 γ 0 得, 2 k = 0 , 1 ? ?1 ρ1 ? ? ? ? n ρ n = (1 ? θ1G1 ? ? ? θ m Gm )σ a Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 2 k = 1 , ρ1 ? ?1 ρ 0 ? ? ? ? n ρ n ?1 = (?θ1 ? θ 2 G1 ? ? ? θ m G m ?1 )σ a 2 k = 2 , ρ 2 ? ?1 ρ1 ? ? ? ? n ρ n ? 2 = (?θ 2 ? θ 3G1 ? ? ? θ m G m ? 2 )σ a 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2 k = m , ρ m ? ?1 ρ m ?1 ? ? ? ? n ρ n ? m = ?θ mσ a k > m , ρ k ? ?1 ρ k ?1 ? ? ? ? n ρ k ? n = 0 ? 选取 k = m + 1 ,m + 2, ? ,m + n ,并用 ρ j 代替 ρ j ,便得到关于 n 个参数 ?1 , ? , ? n 的 n 个方程的方程组 ? ? ? ? ?1 ρ m + ? 2 ρ m ?1 + ? + ? n ρ m? n? +1 = ρ m +1 ? ? ρ +? ρ +?+? ρ ? ? ? 1 ? m+1 2 m n m? n + 2 = ρ m + 2 ? ? ???????????????? ??1 ρ m + n ?1 + ? 2 ρ m + n ?2 + ? + ? n ρ m = ρ m+ n ? ? ? ? ? ? 解此方程组得参数 ?1 , ? , ? n 的估计 ?1 , ? , ? n 。 ? ? 第二步 令 yt = xt ? ?1 xt ?1 ? ? ? ? n xt ? n ,计算 y t 的协方差如下: ? ? ? ? γ k ( y t ) = E ( y t yt + k ) = E[( xt ? ?1 xt ?1 ? ? ? ? n xt ?n )( xt + k ? ?1 xt + k ?1 ? ? ? ? n xt + k ?n )] n n = i , j =0 ? ? ∑? ? i j E ( x t ?i xt + k ? j ) = i , j =0 ? ? ∑? ? γ i j k + j ?i ( xt ) ? 其中? 0 = ?1 用样本自相关函数 γ? k ( xt ) 代替 γ k ( xt ) ,便有 n γ? k ( xt ) == i , j =0 ? ? ∑ ? ? γ? i j k + j ?i ( xt ) 第三步 将 y t 近似看作 MA 序列,即 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 yt ≈ a t ? θ1 at ?1 ? ? ? θ m at ?m 按照 MA 模型参数估计的方法求解如下方程组: 2 γ?0 ( y t ) = (1 + θ12 + ? + θ m )σ a2 , γ? k ( yt ) = (?θ k + θ k +1θ1 + ? + θ mθ m? k )σ a2 , 1 ≤ k ≤ m 2 ? ? ?2 即可得到参数 θ1 , ? , θ m , σ a 的估计 θ1 ,?,θ m , σ a 。 F-检验定阶法 检验定阶法 利用 F-分布检验模型结束的置信度,常用来判定 ARMA 模型的 阶数。 假定我们有 N 个独立的随机观察值 Y = ( y1 , ? , y N ) T 另有 k 个回归因子 X i = ( xi1 , ? , xiN ) T , i = 1, ? , k 建立回归模型 I 回归模型 Y = ?1 X 1 + ? + ? k X k + ε ? 其中 ε = (ε 1 , ? , ε N ) T 是模型的残差。设 ? 是模型参数 ? = (?1 , ? , ? k ) T 的最小二乘估计,则回归残差平方和为 ? ? Q0 = ∑ ( y t ? ?1 xit ? ? ? ? k x kt ) 2 t =1 N 假如我们舍弃后面 s 个回归因子,另建立一个回归模型 II 回归模型 ′ ′ Y = ?1 X 1 + ? + ? k ? s X k ? s + ε ′ ′ ′ ? 相应地,模型参数 ? ′ = (?1 ,? , ? k ) T 的最小二乘估计为 ? ′ ,回归残差平方和为 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ?′ ?′ Q1 = ∑ ( y t ? ?1 xit ? ? ? ? k ? s x k ? s ,t ) 2 t =1 N 命题 1 2 (1) Q0 ~ σ a χ 2 ( N ? k ) ; (2) Q0 与Q1 ? Q0 相互独立 。 F-检验的原理: 要检验回归因子 X k ? s ?1 , ? , X k 是否对 Y 有显著影响,等价于检 检验的原理: 检验的原理 验原假设 H 0 : ? k ? s ?1 = ? = ? k = 0 是否成立。 命题 2 (1) 若随机变量 X 1 , ? , X n 相互独立且 X t ~ N (0,1) ,则 n ∑ X t =1 t ~ χ 2 ( n ) , 自由度为 n 的 χ 2 分布 (2) 若 X ~ χ 2 (n1 ) , Y ~ χ 2 (n 2 ) ,且 X 与 Y 独立,则 X n1 Y ~ F (n1 , n 2 ) , 自由度为 (n1 , n2 ) 的 F 分布 n2 命题 3 若原假设 H 0 为真,则 Q 1 ? Q Q1 ? Q0 s 0 ~ σ 2 a χ 2 ( s ) ,从而 Q0 ~ F ( s, N ? k ) N ?k F-检验的方法: 对于给定的显著水平 α (一般取为 0.05 或 0.01) 检验的方法: ,查 F-分布表 检验的方法 得相应的 Fα 值,即 P ( F ≥ Fα ) = α 。计算统计量 Q1 ? Q0 s F= Q0 N ?k 若有 F > Fα ,则说明统计量 F 不服从 F ( s, N ? k ) 分布,原假设 H 0 错误,应于拒 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 绝。换言之,后面 s 个回归因子 X k ? s ?1 , ? , X k 对于随机变量 Y 的影响是显著的。 否则,接受原假设 H 0 ,后面 s 个回归因子对于 Y 的影响不是显著的,可以忽略 不计。 Box-Jenkins 建模流程图 输入资料 x1 , ? , x N 将序列零均值化, 平稳化 ? 求:样 本自相关函数 ρ k ? 样

本偏自相关函数 ? kk 分析识别模型类 样 本 自相 关 函 数 检验 为 q 步截尾 样本自相关和偏自 相关函数均不截尾 但按指数衰减 样 本 偏自 相 关 函 数检 验 为 p 步截尾 模型为 AR(p), 模型为 ARMA 模型, 估 计 参 数 并由低阶向高阶进 估计参数 θ j ? ? j = ? pj Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, 行参数估计和定阶 Nanjing University of Finance and Economics, 2006 模型为 MA(q), 金融时间序列分析 第五章 时间序列的预测 第五章 时间序列的预测 设当前时刻为 t ,已知时间序列 xt 在时刻 t 及以前各时刻的观察值 xt , xt ?1 , xt ?2 , ? ,用序列 xt 对时刻 t 以后的观察值 xt +l ( l > 0 )预测,称为以 t 为预测原点, 预测原点 原点, 或步长为 向前 l 期(或步长为 l )的预测。 条件期望预测 由于 xt +l 是一个未知的随机变量,一个直观的想法就是用 xt +l 的期望值作为 ? 其预测值 xt (l ) ,即 ? xt (l ) = E ( xt + l | xt , xt ?1 , ?) 注意到 xt 之间有相关性, xt +l 的概率分布式有条件的(即在 xt , xt ?1 , ? 已给定的 条件下) ,因此这里 xt +l 的期望也是有条件的。 。几个简单事实 (1) 常量的条件期望是其本身; (2) 对 ARMA 序列, i) 现在时刻和过去时刻的观察值及扰动的条件期望是其本身,即 E ( x k | xt , xt ?1 , ?) = x k , k ≤ t E (a k | xt , xt ?1 , ?) = a k , k ≤ t ii) 未来扰动的条件期望是零,即 E (a k | xt , xt ?1 , ?) = 0 , k > t iii) 未来取值的条件期望是未来取值的期望值,即 ? E ( x k +l | xt , xt ?1 , ?) = x k +l , l ≥ 1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 。用模型的格林函数形式预测 由模型的格林函数表示式 xt = ∑ G j at ? j ,有 j =0 ∞ xt +l = ∑ G j at +l ? j j =0 ∞ 两边求条件期望,得 ? xt +l = E ( x k +l | xt , xt ?1 ,?) = ∑ G j E (at +l ? j | xt , xt ?1 ,?) j =0 ∞ = ∑ G j at + l ? j j =l ∞ 由ii ), 对j < l , E (at +l ? j | xt , xt ?1 , ?) = 0 = Gl at + Gl +1 a t ?1 + Gl + 2 a t ? 2 + ? 。用模型的逆转形式预测 由模型的逆转形式 xt = ∑ I j xt ? j + at , 有 j =1 ∞ xt +l = ∑ I j xt +l ? j + at +l j =1 ∞ 所以 ? xt (l ) = E ( xt + l | xt , xt ?1 , ?) ∞ = ∑ I j E ( xt +l ? j | xt , xt ?1 ,?) j =1 ? ? = ∑ I j xt (l ? j ) + ∑ I j xt +l ? j , 由iii ), 对j < l , E ( xt +l ? j | xt , xt ?1 , ?) = xt (l ? j ) j =1 j =l l ?1 ∞ 由此看出,预测用到所有过去 xt 的信息。由于 ARMA 模型的可逆性, I j 是收敛 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 数列,因此可取某个 k ,当 j > k 时,令 I j = 0 。即忽略 xt +l 对 xt +l ? j 的依赖性,进 而得出预测值。 。用模型进行预测 AR(1)模型: 设序列 xt 适合如下 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at ,由 i)和 ii)有 ? xt (1) = E ( xt +1 ) = E (?1 xt + a t +1 ) = ?1 E ( xt ) + E (a t +1 ) = ?1 xt ? ? xt (2) = E ( xt + 2 ) = E (?1 xt +1 + a t + 2 ) = ?1 E ( xt +1 ) + E (at + 2 ) = ?1 xt (1) = ?12 xt 一般地, ? ? xt (l ) = E ( xt + l ) = E (?1 xt + l ?1 + at + l ) = ?1 xt (l ? 1) ? ? xt (l ) ? ?1 xt (l ? 1) = 0 , ? 其中 xt (0) = xt 或 ? 即预测值 xt (l ) 满足模型的自回归部分。因而由差分方程通解公式,得 ? xt (l ) = ?1l xt 。 MA(1)模型: 设序列 xt 适合如下 MA(1)模型: xt = at ? θ 1a t ?1 , ? xt (1) = E ( xt +1 ) = E (a t +1 ? θ1 a t ) = E (at +1 ) ? θ1 E (a t ) = ?θ 1 at ? 其中 a t = xt ? xt ?1 (1) = xt + θ1 a t ?1 ,这是一个 a t 的递推公式。给定以前某时刻初始 ? ? 值 a t ? j = 0 ,即假定 xt ? j = xt ? j ?1 (1) ,就可以递推算出 a t ,进而求得 xt (1) 。 ? xt (2) = E ( xt + 2 ) = E (at + 2 ? θ 1 at +1 ) = E (at + 2 ) ? θ1 E (a t +1 ) = 0 一般地, ? xt (l ) = 0 , l > 2 。 ? 注:对于 MA(m)模型 xt = at ? θ 1 xt ?1 ? ? ? θ m xt ? m ,有 xt (l ) = 0 , l > m 。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ARMA(1,1)模型: 设序列 xt 适合如下 ARMA(1,1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at ? θ1 at ?1 ? xt (1) = E ( xt +1 ) = E (?1 xt + a t +1 ? θ1 at ) = ?1 E ( xt ) + E (a t +1 ) ? θ1 E (a t ) = ?1 xt ? θ1 at ? 其中 a t = xt ? xt ?1 (1) = xt ? ?1 xt ?1 + θ1 a t ?1 ,这是一个 a t 的递推公式。给定以前某时 ? ? 刻初始值 a t ? j = 0 ,即假定 xt ? j = xt ? j ?1 (1) ,就可以递推算出 a t ,进而求得 xt (1) 。 ? ? xt (2) = E ( xt + 2 ) = E (?1 xt +1 + a t + 2 ? θ1 a t +1 ) = ?1 xt (1) ? ? 一般地, xt (l ) = E ( xt + l ) = E

(?1 xt + l ?1 + at + l ? θ1 at + l ?1 ) = ?1 xt (l ? 1) ? 即预测值 xt (l ) 满足模型的自回归部分 ? ? xt (l ) ? ?1 xt (l ? 1) = 0 因而由差分方程通解公式,得 ( ? xt (l ) = b0t )?1l , l > 0 。 ? 又 xt (1) = ?1 xt + θ 1 a t ,故 ( b0t )?1 = ?1 xt ? θ1 at = ?1 ( xt ? θ1 at ) ?1 所以 ( b0t ) = xt ? θ1 at 。 从而 ?1 θ1 at )?1l ?1 ? xt (l ) = ( xt ? Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? 注:若视预测值 xt (l ) 为 l 的函数,则预测函数形式是由模型的自回归部分决定, 预测函数中的系数是由模型的滑动部分决定。 例 P133,例 5.1 ARMA(n,m)模型: 设序列 xt 适合如下 ARMA(n,m)模型 xt = ?1 xt ?1 + ? + ? n xt ? n + a t ? θ1 a t ?1 ? ? ? θ m at ? m ? 以下分别求出 xt (l ) : ? xt (1) = E ( xt +1 ) = E (?1 xt + ? + ? n xt +1? n + at +1 ? θ1 at ? ? ? θ m a t +1? m ) = ?1 E ( xt ) + ? + ? n E ( xt +1? n ) + E (a t +1 ) ? θ1 E (at ) ? ? ? θ m E (a t +1? m ) = ?1 xt + ? + ? n xt +1?n ? θ1 at ? ? ? θ m at +1? m ? xt (2) = E ( xt + 2 ) = E (?1 xt +1 + ? 2 xt + ? + ? n xt + 2? n + at + 2 ? θ1 at +1 ? θ 2 a t ? ? θ m a t + 2? m ) = ?1 E ( xt +1 ) + ? 2 E ( xt ) + ? + ? n E ( xt + 2?n ) + E (a t + 2 ) ? θ 1 E (a t +1 ) ? θ 2 E (a t ) ? ? θ m E (a t + 2 ? m ) ? = ?1 xt (1) + ? 2 xt + ? + ? n xt + 2? n ? θ 2 a t ? ? ? θ m at + 2? m 。。。。。。。。 。。。。。。。 当 l ≤ max{m, n} 时, ? ? ? ? xt (l ) = ?1 xt (l ? 1) + ? 2 xt (l ? 2) + ? + ? l ?1 xt (1) + ? l xt + ? + ? n xt + 2? n ? θ l a t ? ? ? θ m at + l ? m Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 当 l > m 时, ? ? ? ? xt (l ) = ?1 xt (l ? 1) + ? 2 xt (l ? 2) + ? + ? n xt (l ? n) ? 其中滑动部分完全消失,且对于 j ≥ 0 , xt ( ? j ) = x t ? j 。此时预测函数为 t t ? xt (l ) = b0 f 0 (l ) + b1t f 1 (l ) + ? + bn ?1 f n?1 (l ) 其中 l > m ? n , f 0 (l ), ? , f n ?1 (l ) 的形式是由特征方程 λn ? ?1λn ?1 ? ? ? ? n ?1λ ? ? n = 0 的根所决定。 注:1、当预测原点 t 给定时,系数 b0 , ? , bn ?1 是常数,并由滑动平均部分所决定。随着预测 原点的变化,这些系数也随之变化,从而预测函数也相应变化,以使预测值适应于序 列已观测部分的特性。 2、对于 ARMA 模型,自回归部分决定了预测函数的形式,而滑动平均部分决定了预测 函数中的系数。 t t 。预测误差的估计 假设序列 xt 用格林函数表示为 ∞ xt +l = ∑ G j at +l ? j = at +l + G1 at +l ?1 + ? + Gl at + Gl +1 at +1 + ? j =0 以 t 为预测原点向前 l 步的预测为 ? x k +l = Gl at + Gl +1a t ?1 + Gl + 2 a t ? 2 + ? 则预测误差为 ? et (l ) = xt +l ? xt (l ) = a t +l + G1 a t +l ?1 + ? + Gl ?1 a t +1 其方差为 ? D (et (l )) = E (et (l )) 2 = E[ xt +l ? xt (l ) = a t +l + G1 at +l ?1 + ? + Gl ?1 at +1 ] 2 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 = σ 2 a (1 + G 12 + ? + G l2? 1 ) 因此,预测误差 et (l ) 具有分布: et (l ) ~ NID(0, D(et (l ))) 。 ? 由于 xt +l = xt (l ) + et (l ) ,所以 xt +l 具有分布: ? ( xt +l | xt , xt ?1 , ?已知) ~ NID( xt (l ), D(et (l ))) 因此, xt +l 预测的 95%的置信区间为: ? xt (l ) ± 1.96σ a (1 + G12 + ? + Gl2?1 ) 2 1 例 见 P135, 例 5.2 其它模型简介 第六章 其它模型简介 前面我们主要讨论了平稳时间序列的建模。然而,我们在实际问题中遇到大 量的反映社会、 经济现象的序列并不是平稳的, 而是呈现明显的趋势性或周期性。 这样的序列的均值 ? t 将随时间 t 的变化而变化 均值 的变化而变化,可以用多项式、指数函数、正弦 函数等来描述,即序列可以用如下更一般的模型来描述: xt = ? t + y t 其中 y t 是 xt 中剔除了趋势性或周期性(即 ? t )余下的部分。 处理这类模型的方法: 一、通过数学方法剔除 xt 中所包含的趋势性或周期性(即 ? t ) ,余下的 y t 按 照平稳过程进行分析和建模,再经反向运算将的 y t 模型带回得到 xt 的模型; ? ? 二、求出 ? t 的拟合形式 ? t ,将残差 yt = xt ? ? t 视为平稳序列进行建模。 需要指出的是,时间序列非平稳性的表现是多种多样的,这里我们所能处理 的仅是一些特殊的平稳性。 下面我们来介绍两类重要的非平稳模型: 自回归求和滑动平均模型和季节性 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 模型。 自回归求和滑动平均模型 一般来说,收益率

序列是平稳的。但是,在某些研究中会涉及到利率、汇率 或资产的价格序列,这些序列往往不是平稳的。如资产价格序列,其非平稳性主 要是由于价格没有固定的水平。 这种类型的非平稳序列叫做单位根非平稳时间序 列。 单位根非平稳时间序列最著名的例子是随机游动模型。 。 随机游动 (Random Walk) 设 {at } 白噪声序列, 则称时间序列 xt = xt ?1 + at 为 一个随机游动,其中 x0 是一个实数,表示这个过程的起始值。 注:1、随机游动的几何解释:一个质点在零时刻处于实数轴的圆点位置,每隔 单位时间, 该质点左移或右移一个长度单位, 左移的概率为 p( 0 < p < 1 ) , 右移的概率为 q ,其中 q = 1 ? p 。质点在 t 时刻的位置记为 xt 。若已知现 在位置为 xt ,则下一时刻位置仅于 xt 有关,而与以前时刻位置无关。---这一过程也叫做马尔可夫过程。 如果把该质点想像为一个醉汉,把实数轴想象为一条长街,则 xt 的图 像便描述了这个醉汉行走的轨迹。 2、若 p t 为一支股票在第 t 天的对数价格,则 p 0 可以是该支股票最初上市的 对数价格,称为对数 IPO 价格。若 a t 的分布关于零点对称,则在给定 pt ?1 的条件下,股票的价格上升或下降的机会各有 50%,即 p t 将随机地上升或 下降,即服从随机游动。 3、随机游动序列不是弱平稳的。因为如果我们把随机游动模型看成一个特 随机游动序列不是弱平稳的。 随机游动序列不是弱平稳的 殊的 AR(1) 模型,那么 xt ?1 的系数为 1,这是不符合 AR(1) 模型弱平稳性 条件的。 此外,随机游动模型的特征方程为 x ? 1 = 0 ,其特征根为 1----是一个 单位根。因此,随机游动序列又被称为单位根非平稳时间序列。 4、随机游动模型被广泛用于对数股价运动的统计模型。但是在这样的模型 下,股价不是可预测的。 5、随机游动模型也可以表示为 MA 模型的形式: xt = at + a t ?1 + at ? 2 + ? 这里对所有的 j , j = 1 , θ 即任何过去的扰动 a t ? j 对 xt 的影响不随时间衰减。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 从而,序列有强记忆性,因为它记得所有过去的扰动。在经济学上讲,扰 动对序列有永久的效应。 。带飘移的随机游动 市场指数的对数收益率序列有时会有正的均值。这蕴含着 对数价格的模型应为 xt = ? + xt ?1 + at 其中 ? = E ( p t ? pt ?1 ) ,? 在金融研究中时十分重要的, 它表示的是对数价格 p t 的 时间趋势,称为模型的漂移(drift) 。 对漂移的解释 假定初始对数价格为 p 0 ,则 p1 = ? + p 0 + a1 p 2 = ? + p1 + a 2 = 2 ? + p 0 + a1 。。。。。 。。。。。 pt = t? + p 0 + a t + at ?1 + ? + a1 t 此式表明,对数价格由时间趋势 t? 和一个纯随机游动过程 ∑ a i 组成。如果我们 i =1 画出 p t 随时间指标 t 变化的图象,它有一个斜率为 ? 的时间趋势:正斜率 ? 蕴含 着对数价格最终趋于 ∞ ,负斜率 ? 蕴含着对数价格最终趋于 ? ∞ 。这图像可以看 作是由水平方向的一个旋转漂移所形成的。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 p = t? 。自回归求和滑动平均模型 自回归求和滑动平均模型的英文为:Autoregressive Intergrated Moving Average Model,简记为:ARIMA 模型。 一个时间序列 {xt } 称为 ARIMA(p,1,q)模型,如果序列 ct = xt ? xt ?1 服从一 个平稳 ARMA(p,q)模型。 注:1、在金融中,价格序列通常是非平稳的,而对数收益率序列 rt = ln( Pt ) ? ln( Pt ?1 ) 是平稳的。因此,价格序列是单位根非平稳的,并且是一个 ARIMA(p,1,q)序列。 注意, Pt 是毛收益率,而对数收益率 Pt ?1 Pt P ? Pt ?1 P ? Pt ?1 = ln(1 + t )≈ t Pt ?1 Pt Pt rt = ln 即对数收益率近似等于净收益率。 2、定义中的 ct = xt ? xt ?1 称为 xt 的一阶差分,记为 ?xt ,即 ?xt = xt ? xt ?1 , 表示的是相邻两个时刻数值之差。 时间序列分析中正是利用这种差分的思想来把 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 一个非平稳时间序列转化为一个平稳序列。 例如,考虑时间序列 x n = n, n = 1,2, ? ,显然它是一个非平稳序列。对这 个序列作一阶差分,得 x n ? x n ?1 = n ? (n ? 1) = 1 ,这是一个平稳序列。 如果对一个非平稳序列 xt 作一次差分后仍然是非平稳的, 就需要再作一次差 分,有时侯

可能需要作多次差分才能成为平稳序列。此时序列 xt 就是一般的 ARIMA(p,d,q)模型。 对非平稳时间序列 xt 作差分的次数多少是由 xt 的单位根的重数所决定的。 例如, 进行季节性调解后的美国每季度国民总产值暗含的通货紧缩序列可能会有 双重单位根,因而它可能是一个 ARIMA(p,2,q)模型 显然,若 d = 0 ,则 ARIMA(p,d,q)模型就是平稳 ARMA(p,q)模型。 自回归求和滑动平均模型的解释 记 B 为向后推移算子, ? = 1 ? B 为差分算子,即 ?xt = (1 ? B ) xt = xt ? xt ?1 。 再记 θ ( B ) = 1 ? θ1 B ? ? ? θ q B q , ? ( B ) = 1 ? ?1 B ? ? ? ? p B p 那么,MA(q)模型、AR(P)模型、ARMA(p,q)可以分别表示为下列算子形式: xt = θ ( B ) a t , ? ( B ) xt = at , ? ( B ) xt = θ ( B ) a t 。 一般地, 一个时间序列 {xt } 称为 ARIMA(p,d,q)模型, 如果 xt 的 d 阶差分 ? d xt 服从一个平稳 ARMA(p,q)模型,即具有形式: ? ( B)? d xt = θ ( B )at 记 yt = ? d xt ,则上式可以写为 ? ( B ) y t = θ ( B )at ,即 y t 是一个平稳 ARMA(p,q) 序列。若记 S = ? ?1 ,则有 xt = S d y t 。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 注意到这里 S = ? ?1 = 1 = 1 + B + B 2 + ? 是一个无限和,我们称其为无限 1? B 和算子。 于是有 Sy t = (1 + B + B 2 + ?) y t = i = ?∞ ∑y t t i S 2 y t = S ( Sy t ) = S ( ∑ y i ) = i = ?∞ t i = ?∞ ∑ Syi = ∑ t i = ?∞ j = ?∞ ∑ ∑y t t t j S 3 yt = S (S 2 yt ) = S ( ∑ 。。。。。。 。。。。。 t i = ?∞ j = ?∞ ∑ yj) = t i = ?∞ j = ?∞ ∑ Sy j = i = ?∞ j = ?∞ k = ?∞ ∑ ∑ ∑y t t t k 由此可见, 非平稳的 ARIMA 模型 xt 可由平稳的 ARMA 模型 y t 累加 (或积分)d 次所生成,因此称其为自回归求和滑动平均模型。 注:由上述讨论可见,对于“自回归求和滑动平均模型”这类非平稳模型可以采 差分方法将其平稳化。 用差分方法 差分方法 一 般 地, 若 序列 {xt } 具 有 线 性 的趋 势 ,则 可 以通 过 对其 进 行一 次差分 ?xt = xt ? xt ?1 而将线性趋势剔除掉,然后对差分后的序列 { y t = ?xt } 拟合 ARMA 模 型 进 行 分 析 和 预 测 , 最 后 再 通 过 差 分 的 反 运 算 得 到 {xt } 的 结 果 , 即 ? ? xt = y t ? xt ?1 。 季节性 季节性模型 有些金融时间序列,如公司股票的每股每季的赢利,呈现出一定的循环或周 期性。这样的时间序列称为季节性时间序列。 在有些应用中,季节性是次要的,可以把它从数据中消除,得到经季节性调 整的时间序列,然后再来做推断。 从时间序列中消除季节性的过程称为季节调整。 美国政府公布的多数经济 数据是经季节调整的(如国民总产值的增值率和失业率) 。 在另一些应用中,季节性又是重要的,只有对季节性进行了合适的处理,我 们才能进行准确的预测。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 。季节差分法 设 {xt } 为 一 个 含 有 周 期 为 s 周 期 性 波 动 的 序 列 , 记 ? s xt = xt ? xt ? s ,称为 xt 的季节差分。这里 ? s 称为季节差分算子。 注: 由于 {xt } 是以 s 周期为的波动序列,则 xt , xt + s , xt + 2s , ? 为各相应周期点的数 值,它们应当表现出非常相近或呈现出某一趋势的特征,进行季节差分可以 消除周期性的影响。 例 P155, 例 6.6 。对数变换与差分运算的结合法 若序列 {xt } 含有指数趋势,则可以通过取对数将指数趋势转化为线性趋势, 然后再进行差分以消除线性趋势。 例 P157 条件异方差模型 条件异方差模型是用来对资产收益率的波动率进行建模的经济计量模型 波动率在期权交易中是一个重要因素,它是标的资产收益率的条件方差。 在风险管理中波动率也是十分重要的。 利用波动率的建模可以给计算风险值 (Value at Risk)提供一个简单方法。 设 rt 表示资产在 t 时刻的对数收益率。 波动率研究的基本思想是: 序列 {rt } 是 前后不相关的,但不是独立的。考虑给定 t ? 1 时刻已知的信息集 Ft ?1 时的条件均 值和条件方差 ? t = E (rt | Ft ?1 ) , σ t2 = Var (rt | Ft ?1 ) = E[(rt ? ? t ) 2 | Ft ?1 ] 其中的信息集 Ft ?1 可以取为由过去收益率的全体线性函数组成。 假定 rt 服从一个简单的时间序列模型,如平稳 ARMA(p,q) 模型,即 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 rt = ? t +

at , p q (*) 其中 ? t = ? 0 + ∑ ? i rt ?i ? ∑ θ j a t ? j ,称为 rt 均值方程。 a t 称为资产收益率 rt 在时 i =1 j =1 刻 t 的扰动 或 均值修正后的收益率。 由(*)式可得 σ t2 = Var (rt | Ft ?1 ) = Var (at | Ft ?1 ) 可见,σ t2 是随时间 t 变化而变化的,表示波动率 σ t2 的模型称为 rt 的波动率方程。 条件异方差模型就是用来描述波动率 σ t2 的演变的。 一元波动率模型包括: Engle (1982),自回归条件异方差模型(ARCH 模型) Bollerslev (1986),推广的自回归条件异方差模型(GARCH 模型) ARCH(m)模型 设 rt 为资产的对数收益率序列,假定其均值方程是一个 ARMA 模型。设 a t = rt ? ? t 是均值修正的对数收益率,若 at = σ t ε t , σ t2 = α 0 + α 1 at2?1 + ? + α m at2?m 其中 ε t ~ N (0,1) 且是独立同分布的, 0 > 0 , j ≥ 0, j > 0 , α α 则称 a t 服从 ARCH(m) 模型。 ARCH(1)的统计特性: (1) E (a t ) = 0 ; (2) Var (at ) = α0 。 1 ? α1 GARCH(m)模型 设 rt 为资产的对数收益率序列,假定其均值方程是一个 ARMA Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 模型。设 a t = rt ? ? t 是均值修正的对数收益率,若 m n at = σ t ε t , σ t2 = α 0 + ∑ α i at2?i + ∑ β iσ t2? j i =1 j =1 其中 ε t ~ N (0,1) 且是独立同分布的,α 0 > 0 ,α j ≥ 0, β j ≥ 0, j > 0 , 则称 a t 服从 GARCH(m,n)模型。 max( m , n ) i =1 ∑ (α i + βi ) , 附录: 附录:进一步研究的论题。峰度与偏度设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x) ,则 X 的 l 阶矩 定义为 ml′ = E ( X l ) = ∞ ?∞ ∫x l f ( x)dx 一阶矩称为 X 的均值 或 期望, 它表示的是分布的中心位置, 记为 ? x 。X 的 l 阶 中心矩 定义为 ml = E[( X ? ? x ) ] = l ∞ ?∞ ∫ (x ? ? x ) l f ( x)dx 二阶中心矩称为 X 的方差,它表示 X 取值变化的程度,记为 σ 2 x 。方差的算术根 σ x 称为 X 的标准差 X 的偏度(skewness)定义为标准化的三阶矩, 即 ? ( X ? ? x )3 ? S ( x) = E ? ? 3 ? σ x ? X 的峰度(kurtosis)定义为标准化的四阶矩, 即 ?( X ? ?x )4 ? K ( x) = E ? ? 4 ? σ x ? 量 K ( x) ? 3 称为超出峰度, 具有正的超出峰度的分布称为具有厚尾性 。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 注:1、三阶中心矩度量 X 关于其均值的对称性;四阶中心矩度量 X 的尾部。 2、所谓“超出峰度”是以正态分布为标准比较而言的。正态分布的峰度 K ( x) = 3 ,故其超出峰度为 0。分布具有“厚尾性”意即该分布在其支撑 的尾部有比正态分布更多的“质量” 。在实际中,这意味着来自于这样一 个分布的随机样本会有更多的极端值。 3、在应用中,偏度和峰度可以由它们对应的样本偏度和样本峰度来估计。 设 {x1 , x 2 ,? ? ?, xT } 是 X 的 T 个观察值的随机样本,样本的均值为 ? ?x = 1 T ∑ xt T t =1 样本方差为 ? σ 2x = 1 T ? ∑ ( xt ? ? x ) 2 T ? 1 t =1 样本偏度为 ? S ( x) = 1 ? (T ? 1)σ 3 x ? ∑ ( xt ? ? x ) t =1 T 3 样本峰度为 ? K ( x) ? 3 = 1 ? (T ? 1)σ 4 x ∑ (x t =1 T 4 t ? ? ?x ) ? ? 注:在正态分布假定下, S ( x) 和 K ( x) 均渐近正态分布,均值为零,而方差分别 为 6 / T 和 24 / T 。 (参见 Snedecorhe Cochran(1980), P.78) 。长期记忆性与短期记忆性 记忆性与短期记忆性我们已经讨论过, 平稳时间按序列的自相关函数在间隔增加时呈指数速度衰 减。但是,对于非平稳时间序列,我们可以证明:对任意固定的间隔,当样本容 量增加时, 样本自相关函数收敛于 1。见 Chan 和 Wei (1988)、Tiao 和 Tsay(1983)) ( 一个时间序列的自相关系数衰减的速度可以用来刻画时间序列的记忆程度。 如果一个时间序列所有观察值之间都不相关,则这个时间序列是白噪声过 程,我们称这个时间序列不具有记忆性; 如果一个时间序列的自相关函数按几何速率衰减到零, 则称这个时间序列具 有短记忆性。 例如,自回归移动平均模型具有短记忆性。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 如果一个时间序列的自相关函数按多项式速率或者双曲线速率缓慢衰减到 零,则称这个时间序列具有长记忆性; 例 设 {a t } 为白噪声序列,定义分数差分序列为 (1 ? B ) d xt = at , ? 0.5 < d < 0.5 这里非整数幂的二项展开式定义为: ∞ ?d ? (1 ? B ) d = ∑ (?1) k ? ? B k , ?k ? k =0 ? ? ? d ? d (d ? 1) ? (d ? k + 1) 其

中 ? ? = ?k ? k! ? ? 该序列具有以下性质: (1) 若 d < 0.5 ,则 {xt } 是一个平稳过程并且有无穷阶 MA 的表示 ∞ xt = at + ∑ψ i a t ?i , i =1 其中ψ k = d (1 + d ) ? (k ? 1 + d ) (k + d ? 1)! = ; k! k! (2) 若 d > ?0.5 ,则 {xt } 是可逆的并且有无穷阶 AR 的表示 ∞ x t = ∑ π i a t ?i + a t , i =1 其中ψ k = ? d (1 ? d ) ? (k ? 1 ? d ) (k ? d ? 1)! = ; k! k!(? d ? 1)! (3) 若 ? 0.5 < d < 0.5 ,则 {xt } 的自相关函数为 d (1 + d ) ? (k ? 1 + d ) , k = 1,2, ? (1 ? d )(2 ? d ) ? (k ? d ) ρk = 特别地, ρ1 = d /(1 ? d ) ,且当 k → ∞ 时 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ρk ≈ (?d )! 2 d ?1 k 。 (d ? 1)! 性质(3)表明 {xt } 的自相关函数以多项式速度衰减。 因此, 该序列具有长记忆 性。 注:在实际中,如果一个样本序列的样本自相关函数在数值上不大,但衰减得很 慢,则该序列可能会有长记忆性。 。非线性金融----分形市场分析参见 Fractal—R/S 分析与 Hurst 指数 。我的近期工作参见我的论文 。关于毕业论文 1、选题(根据自己兴趣、基础和能力) 2、收集资料、整理分类(围绕选题)---- 参见 R/S 分析 3、提出问题、确定研究方法和路径 4、开展研究:理论分析、推理计算、论证说明、实证等,得出结论 5、撰写论文:题目、作者姓名及通讯地址、摘要、关键词、正文(引言、论 文综述、主要工作、结束语、参考文献)---- 注意格式的规范 6、程序:开题报告、任务书、中期检查、个人总结、答辩资格审查、答辩、 成绩评定 。征集毕业论文课题把你感兴趣的研究课题发往

股市休息时间


中国人寿股票, 浙江医药股票, 长盈精密股票, 深大通股票, 丽珠集团股票, 涪陵榨菜股票, 欧比特股票, 海南橡胶股票, 股票k线图入门图解, 蓝丰生化股票, 报喜鸟股票, 步步高股票, 武汉中商股票, 一汽夏利股票, 登海种业股票, 驰宏锌锗股票, 中炬高新股票, 股票价格, 武昌鱼股票, 海风股票论坛, 航天机电股票, 江苏阳光股票, 股票增发, 股票成交量怎么看, 河北宣工股票, 大西洋股票, 云内动力股票, 大连重工股票, 千金药业股票, 荣华实业股票, 正虹科技股票, 雪迪龙股票, 云南旅游股票, 宏达新材股票, 新亚制程股票, 双箭股份股票, 威尔泰股票, 什么叫股票, 股票集合竞价, 海螺型材股票, 华纺股份股票, 深振业股票, 蒙牛股票代码, 股票实时行情, 股票总市值, 东方银星股票, 航民股份股票, 同花顺股票软件, 什么是股票基金, 600195股票, 万科地产股票, 新南洋股票, 同有科技股票, 中航动控股票, 股票涨停板, 股票站, 山东章鼓股票, 吉鑫科技股票, 西山煤电股票行情, 002113股票, 股票600125, 股票只是, 股票交易费用计算器, 草甘膦股票, 磷化工股票, 大成优选股票, 股票 软件, 历史股票, 达股票, 信息股票, 股票好吗, 股票金融, 股票股市, 好的股票, g股票, 5g 股票, 股票平仓, 股票电影, 股票今日行情, 2016 年股票, 股票的 概念, 股票派息, 股票怎么购买, 股票怎么操作, 新浪财经 股票, 股票 个人所得税, 富士康 股票, 股票解套, 股票带什么意思, 疫苗 股票, 股票五档, 长安股票, 股票基础入门, 股茅台股票, 看涨股票, 广西股票, 回购注销股票, 股票涨板, 股票的持有, 股票 技术分析, 股票卖不出去, 小米的股票, 物联网 股票, 长期投资的股票, 股票底部票, 股票 委比, 股票放量下跌, yy 股票, 股票个股, 恒瑞 股票, 股票j, 股票退, 制造业股票, 于平股票, 股票是怎么上涨的, 中国股票市值, 股票peg, 股票配资的公司, 股票到账, 股东增持股票, 股价最高的股票, 股票看盘软件, 股票rsi, 股票的现价是, 深a股票代码, 万德股票, 股票 模型, 首次发行股票, 除息的股票, 股票定向, 分析股票投资, 股票换股, 股票10派, 如何买入股票, 股票配资排名, 基金与股票的区别, 外汇比股票, 员工股票, 股票质押登记, 股票研究报告, 搜狐的股票, 什么是深圳股票, 股票怎么看线, 摘帽 股票, 步步高 股票, 股票基金怎么买, 全部股票, 股票代号, 配股的股票, 股票原油, 外汇与股票的区别, ipo的股票, 美图 股票, 四川的股票, 股票什么时候跌, 股票的换手率, 质押股票是什么意思, 鄂尔多斯 股票, 环保股票有, 股票短期, 中铁 股票, 牧原股票, 玩股票怎么玩, 股票是怎么玩的, 快速股票, 股票中的s是什么意思是什么意思是什么意思是什么意思, 股票套牢了, 阿里巴巴 股票代码, 众股票, 什么是股票龙头, 股票手机交易, 股票的委比, 恒生电子 股票, 宝洁股票, 福州的股票, 股票颜色线, 股票什么开市, 股票基金公司, 蔚来汽车股票, 宝马 股票, 股票怎么看收益, 苏州股票, 寒武纪 股票, 股票挂单技巧, 融创的股票, 被举牌股票, 特斯拉的股票, q股票, 股票分类代码, 华宜股票, 什么是股票复盘, 中国航空股票, 股票的趋势线, 自贸区股票, 股票的对冲, 美航股票, 股票 编程, 股票分析指标, google 股票, 股票交易方法, 股票涨的原因是什么, 邢台股票, 给本金的股票, 购股票分录, 股票融资爆仓, 股票如何炒, 股票的空头, 股票sz是什么意思, 等级股票, 股票市盈率是什么意思, 股票的营业部, 股票温氏, 股票账户怎么注销, 合盛硅业股票, 股票软件免费, 股票投资咨询公司, 题材股票, 股票变st, 太亚股票, 股票焰, 被举牌的股票, 股票量比是什么意思, 可立克股票, 航运股票, 股票价格表, 熔断股票, 金麒麟股票, 股票费用怎么算, 讲解股票, 华海股票, 股票 搜索, 股票的头像, 圆通快递股票, 邮政的股票, 黄金股票是什么, 股票动态, 大唐股票, 股票的估值怎么算, 股票天津港, 股票的内幕, 股票 压盘, 卫信康股票, 划线股票, 股票获利率, 股票聊天, 融资标的股票, 股票农业银行, 华龙股票, 股票加粉, 白云股票, 股票继承, 限售股股票, 股票交易原则, 一人股票, 股票交易印花税多少, 手机交易股票, 怎么买入涨停的股票, 模拟买卖股票, 002352 股票, 雪人股票, 总量股票, 股票没有成交, 股票会涨到多少, 尤文股票, 股票标准差, 雄安 概念股票, 解除股票质押,
本文来自网络,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.wcgjj.com/193113.html

金融时间序列分析 股市休息时间的相关文章